目录
目录
1. 数列的上下极限
1.1. 运算性质
2. 集合列的上下极限
上下极限具有半线性
命题 1 (上下极限的运算性质). 设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 是两个数列
总的来说, 集合列的半极限性质会比数列的半极限性质好一些, 因为证明用的是特征函数. 集合列的半极限是一种特殊的数列极限.
- 若 $a_n \leqslant b_n(n>N)$, 则
$$\liminf _{n \rightarrow \infty} a_n \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty} b_n, \limsup _{n \rightarrow \infty} a_n \leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty} b_n.$$ - 半线性 \begin{align*} \liminf _{n \rightarrow \infty} a_n+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_n &\leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right) \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty} a_n+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_n \\ \limsup _{n \rightarrow \infty} a_n+\liminf _{n \rightarrow \infty} b_n &\leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right) \leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty} a_n+\limsup _{n \rightarrow \infty} b_n .\end{align*} 进一步，若 $\lim _{n } b_n$ 存在，则 \begin{align*} \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right)&=\liminf _{n \rightarrow \infty} a_n+\lim _{n \rightarrow \infty} b_n\\ \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_n+b_n\right)&=\limsup _{n \rightarrow \infty} a_n+\lim _{n \rightarrow \infty} b_n . \end{align*}
- 设 $a_n \geqslant 0, b_n \geqslant 0$, 则 \begin{align*} \liminf _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \liminf _{n \rightarrow \infty} b_n &\leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_n b_n\right) \leqslant \liminf _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \limsup _{n \rightarrow \infty} b_n \\ \limsup _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \liminf _{n \rightarrow \infty} b_n &\leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_n b_n\right) \leqslant \limsup _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \limsup _{n \rightarrow \infty} b_n . \end{align*} 进一步，若 $\lim _{n } b_n$ 存在，则 \begin{align*} \liminf _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \cdot b_n\right)&=\liminf _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_n, \\ \limsup _{n \rightarrow \infty}\left(a_n \cdot b_n\right)&=\limsup _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} b_n . \end{align*}
例子 1. 设 $A_k$ 两两不交, 则由上极限的等价定义得
$$\lim_n\bigcup_{k=n}^\infty A_k=\bigcap_{n\ges1}\bigcup_{k\ges n}A_k=\limsup A_k=\varnothing.$$