几个随机小数的和能大于1？

# 几个随机小数的和能大于1？

## 直观分析与仿真

先来直观地分析一下,

取 $1$ 个随机小数, 和能大于 $1$ 吗? 不能, 此时概率为 $0$.

取 $2$ 个随机小数, 和能大于 $1$ 吗? 这是有可能的, 我们有可能取到 $\{0.5, 0.6\}$ 这样的组合.

取 $3$ 个随机小数, 和能大于 $1$ 吗? 这就更有可能了, 比如 $\{0.3, 0.4, 0.5\}$, 以及 $\{0.8, 0.9, 0.9\}$

我们的问题是“需要取几次, 和才能大于 $1$ ?”

显然, 因为数字是随机的, 每次实验的结果都不一样. 实验结果是一个**随机变量**, 记为 $X$.

在现实生活中, 当人们问“取几次, 和才能大于 $1$ ?” 往往暗含了一个前提 —— 在平均意义下, 也就是“**平均**取几次, 和才能大于 $1$ ?”

我们不妨先试试数值模拟.

我们知道自然底数 $\mathrm{e}$ 的数值为

$$ \mathrm{e}=2.71828182\cdots$$

表中最后一行的结果和 $\mathrm{e}$ 的数值很接近, 因此我们猜想当实验次数趋于无穷时, 平均值会趋于自然底数 $\mathrm{e}$.

这个猜想可以证明吗？

可以. 由强大数定律得, 多次实验结果的平均值稳定于一次实验结果的数学期望.

简言之, 平均值稳定于期望. 我们只需要计算一次实验结果的**数学期望**.

## 用数学语言的分析

为了正确计算一次实验结果的数学期望, 我们需要把各种陈述严谨化.

题目陈述的严谨版：取几个随机小数, 和**才**能大于1? 这里的小数服从 $(0,1)$ 上的均匀分布.

随机变量 $X=\text{第一次和超过}\, 1\, \text{时取的随机数个数}$, 这是我们考察的重点. 我们每进行一次实验, 随机变量 $X$ 取 $\{1,2,3,\cdots,\}$ 中的一个值.

$n$ 次实验结果的均值为
$$\bar{X}_ n= \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n},$$
因为这些实验是独立同分布的, 并且每个 $X_n$ 服从 $X$ 的分布, 由强大数定律得

$$ \lim_{n\to\infty} \bar{X}_ n = E(X)\quad \mathrm{a.s.} $$

这里的 $E(X)$ 是随机变量 $X$ 的数学期望.

接下来我们计算期望 $E(X)$. 因为 $X$ 是离散随机变量, 所以需要求出其分布列：

| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $n$ |$\cdots$ |
| :----: | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
| $P$ | $P_1$ | $P_2$ | $P_3$ | $\cdots$ | $P_n$ |$\cdots$ |

其中 $P_n=P(X=n)$. 如果每个 $P_n$ 都是已知的, 那么根据数学期望的定义有

$$ E(X)=\sum_{n=1}^{\infty} nP_n.$$

接下来求 $P_n$, 即“取 $n$ 个随机数和才超过 $1$” 的概率.

记事件 $A_n$ 为“取 $n$ 个随机数和超过 $1$”, 那么事件 $X=n$ 为 $A_n\cap\bar{A}_ {n-1}$, 就是说“前 $n$ 次之和超过 $1$ 且 前 $n-1$ 次没超过 $1$”, 那么
$$
\begin{aligned}
P_n&=P(X=n)=P(A_n\bar{A}_ {n-1})

&=P(A_n)-P(A_nA_{n-1})\\
&=P(A_n)-P(A_{n-1})\\
\end{aligned}
$$

所以我们只需要计算 $P(A_n)$, 也就是 “取 $n$ 个随机数和超过 $1$” 的概率, 实际上手发现直接算不方便. 这时考虑求反事件的概率 $P(\bar{A}_ n)$, 记 $I_n=P(\bar{A}_ n)$, 那么

$$
I_n=\int\int\cdots\int_{x_1+x_2+\cdots+x_n\leqslant 1} \mathrm{d} x_1 \mathrm{d} x_2\cdots \mathrm{d} x_1.
$$

上面这个式子很复杂, 但它其实有很强的几何意义.

$I_2$ 等于单位正方形“一个角”的面积, $I_3$ 等于单位立方体“一个角”的体积：


计算得 $ I_n=\frac{1}{n!}$ (具体过程放在了附录中). 那么
$$
\begin{aligned}
P_n&=P(A_n)-P(A_{n-1})

&=\big(1-P(\bar{A}_ n)\big)-\big(1-P(\bar{A}_ {n-1})\big)

&=P(\bar{A}_ {n-1})-P(\bar{A}_ n)=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}.
\end{aligned}
$$

因此 $X$ 的分布列为

| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\cdots$ | $n$ |$\cdots$ |
| :----: | :----: | :----: |:----: |:----: |:----: |:----: |
| $P$ | $0$ | $1-\frac{1}{2!}$ | $\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$ | $\cdots$ | $\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}$ |$\cdots$ |

$X_n$ 服从的就是上面的分布列

那么通分化简一下就可以得到 $E(X)=\mathrm{e}$:

$$
\begin{aligned}
E(X)&=\sum_{n=2}^{\infty}n\left [ \frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}\right ]\\
&=\sum_{n=2}^{\infty}n\cdot \frac{n-1}{n!}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{(n-1)!}\\
&=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=\mathrm{e}.
\end{aligned}
$$

## 大数定律

Kolmogorov 强大数定律：设 $\{X_n\}$ 是一列独立同分布的随机变量, 且 $EX_n=\mu$, 则
$$\lim_{n\to\infty} \bar{X}_n=\lim_{n\to\infty} \frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}=\mu,\ \mathrm{a.s.}.$$

大数定律说得通俗些就是
频率稳定于概率
均值稳定于期望

## 具体的计算

现在就很有意思了, 我们的问题是什么

现在需要计算事件“随机取 $n$ 个小数, 和大于 $1$” 的概率, 记这个值为 $I_n$, 那么

这道题严格的说法是

“若 $ x_n \sim U(0,1), \mathrm{i.i.d}$, 即随机变量序列 $x_n$ 独立同分布且服从 $(0,1)$ 之间的均匀分布, 求事件 $x_1+x_2+\cdots+x_n>1$ 的期望”