模论1

目录
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 1.  备忘录
 2.  环与代数上的模
   2.1.  域上的代数
   2.2.  环与代数上的模
 3.  零化子
 4.  模的构造
   4.1.  模同态的矩阵表达
   4.2.  模的直和的自同态环
   4.3.  双模
 5.  单模与半单模
   5.1.  半单模的刻画
 6.  Wedderburn-Artin定理
 7.  范畴与函子
   7.1.  范畴
   7.2.  函子
   7.3.  自然变换
1. 备忘录 “环与代数上的模”和“群在集合上的作用”有点像.
环 $R$ 上的模 = 加群 + $R$-作用
代数 $A$ 上的模 = $k$-线性空间 + $A$-作用
模同态 = 群同态 + 保持模结构 单模是不可分解模, 但不可分解模未必是单模.
整环 = 无零因子的交换(幺)环 (integral domain).
无零因子环 domain
$\mathbb{K}$-线性空间是半单 $\mathbb{K}$-模.
在涉及交换图的证明中, 补箭头的常用技巧, 看上去是必要条件, 但可以利用交换图得出新的结论.
研究一个模可以从直和分解(如果可分解), 也可以从单模扩张(如果有合成列)的角度出发.
半单模有单模的直和分解(定义), 有合成列的模可以"唯一"分解成有限个不可分解模的直和(引理+ K-S-R 定理). 特别地, 代数上的有限维模可以"唯一"分解成有限个不可分解模的直和. 2. 环与代数上的模 2.1. 域上的代数 若代数 $A$ 作为环是交换环, 则称 $A$ 是交换代数; 若 $A$ 作为环是可除环(每个非零元有乘法逆), 则称 $A$ 是可除代数. 如果代数 $A$ 作为 $k$-线性空间是有限维的, 则称 $A$ 是有限维 $k$-代数, 其维数记为 $\dim_k A$. 定义代数同态需要兼顾代数的环结构和线性空间结构: $k$-代数 $A$ 到 $k$-代数 $B$ 的代数同态, 指环同态 $f:A\to B$, 并且 $f$ 也是 $k$-线性映射. 2.2. 环与代数上的模 $r.m$ 称为 $r$ 在 $m$ 上的作用, 通常将作用的符号"."省略. 左 $R$-模有如下的等价定义： 模是“环在加群上的作用”, 是一种特殊的“群在集合上的作用”. 上述两种左 $R$-模的定义是等价的, 只需定义 $\rho(r)(m):=rm$. 事实上, 环同态 $\rho$ 把第一个定义中的 $4$ 个条件打包成了同态. 一般地, $M$ 是左 $R$-模当仅当 $M$ 是右 $R^{\mr{OP}}$-模, 其中 $R^{\mr{OP}}$ 是 $R$ 的反环. 我们把 $M$ 到 $N$ 的模同态全体记作 $\Hom{R}{M,N}$, 它有自然的 Abel 群结构. 进一步, Abel 群 $\End{R}{M}:=\Hom{R}{M,M}$ 对模同态的复合运算作成环, 称为模 $M$ 的自同态环. 3. 零化子 4. 模的构造 显然, 直和 $\bigoplus_{\alpha \in I} M_\alpha$ 可以自然地嵌入到直积 $\prod_{\alpha \in I} M_\alpha$; 这个嵌入是同构当且仅当 $I$ 是有限集. 4.1. 模同态的矩阵表达 我们经常要用模同态的矩阵表达: 其好处就是同态的合成与矩阵的运算法则完全一致. 设有模同态 $f: X \rightarrow U$ 和 $g: X \rightarrow V$. 记 $\binom{f}{g}: X \rightarrow U \oplus V$ 是模同态 $e_1 f+e_2 g$, 其中 $e_1: U \rightarrow U \oplus V$ 和 $e_2: V \rightarrow U \oplus V$ 均为嵌入, 即 $e_1(u)=(u, 0), e_2(v)=(0, v)$ . 任意模同态 $h: X \rightarrow U \oplus V$ 均可唯一地写成 $\binom{f}{g}$这种形式, 其中 $f=p_1 h, g=p_2 h$, 这里 $p_1: U \oplus V \rightarrow U$ 和 $p_2: U \oplus V \rightarrow V$是投影，即 $p_1(u, v)=u, p_2(u, v)=v$ . 设有模同态 $a: U \rightarrow Y$ 和 $b: V \rightarrow Y$. 记 $(a, b): U \oplus V \rightarrow Y$ 是模同态 $a p_1+b p_2$. 任意同态 $h: U \oplus V \rightarrow Y$ 均可唯一地写成 $(a, b)$ 这种形式, 其中 $$a:=h e_1: U \rightarrow Y, b:=h e_2: V \rightarrow Y.$$ 设有模同态 $\binom{f}{g}: X \rightarrow U \oplus V$ 和 $(a, b): U \oplus V \rightarrow Y$ . 则其合成恰为 $$(a, b)\binom{f}{g}=a f+b g$$. 设有模同态 $a: U \rightarrow X, b: U \rightarrow Y, c: V \rightarrow X, d: V \rightarrow Y$. 用 $$\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right): U \oplus V \rightarrow X \oplus Y$$ 记模同态 $$ \binom{(a, c)}{(b, d)}=\left(\binom{a}{b},\binom{c}{d}\right)=\binom{a}{b}\left(\operatorname{Id}_U, 0\right)+\binom{c}{d}\left(0, \operatorname{Id}_V\right)=\binom{\operatorname{Id}_X}{0}(a, c)+\binom{0}{\operatorname{Id}_Y}(b, d), $$ 即 $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)$ 将 $\binom{u}{v}$ 映到 $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)\binom{u}{v}=\binom{a(u)+c(v)}{b(u)+d(v)}$. 而且, 任意模同态 $U \oplus V \rightarrow X \oplus Y$均可唯一地写成 $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right)$ 这种形式. 则其合成恰为 $$ \left(\begin{array}{ll} a^{\prime} & c^{\prime} \\ b^{\prime} & d^{\prime} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} a^{\prime} a+c^{\prime} b & a^{\prime} c+c^{\prime} d \\ b^{\prime} a+d^{\prime} b & b^{\prime} c+d^{\prime} d \end{array}\right): U \oplus V \rightarrow W \oplus Z .$$ 设有模同态 $\left(\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right): U \oplus V \rightarrow X \oplus Y$ 和 $\left(\begin{array}{cc}a^{\prime} & c^{\prime} \\ b^{\prime} & d^{\prime}\end{array}\right): U \oplus V \rightarrow X \oplus Y$. 则 $$ \left(\begin{array}{ll} a & c \\ b & d \end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc} a^{\prime} & c^{\prime} \\ b^{\prime} & d^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} a+a^{\prime} & c+c^{\prime} \\ b+b^{\prime} & d+d^{\prime} \end{array}\right): U \oplus V \rightarrow X \oplus Y $$ 验证均留作习题. 这里仅是对两个模的直和表述模同态的矩阵表达. 对于有限个模的直和，模同态也有类似的矩阵表达. 4.2. 模的直和的自同态环 设左 $R$-模 $M$ 有直和分解 $M=M_1 \oplus \cdots \oplus M_n$.按照上述记法，任意 $f \in \operatorname{End}_R(M)$ 均可唯一地写成 $$ f=\left(\begin{array}{ccc} f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n} \end{array}\right) $$ 的形式，其中

1. $f_{j i}:=p_j f e_i: M_i \rightarrow M_j$ 为左 $R$-模同态
2. $e_i: M_i \rightarrow M$ 是嵌入
3. $p_j: M \rightarrow M_j$ 是投影

于是我们得到 在上述引理中取 $M_1 \cong \cdots \cong M_n \cong L$, 即 $M \cong n L$, 则得到 4.3. 双模 5. 单模与半单模 The most basic example of a semisimple module is a module over a field, i.e., a vector space. On the other hand, the ring $\mathbb{Z}$ of integers is not a semisimple module over itself, since the submodule $2\mathbb{Z}$ is not a direct summand. A ring is said to be (left)-semisimple if it is semisimple as a left module over itself. Surprisingly, a left-semisimple ring is also right-semisimple and vice versa. The left/right distinction is therefore unnecessary, and one can speak of semisimple rings without ambiguity. A semisimple ring may be characterized in terms of homological algebra: namely, a ring $R$ is semisimple iff any short exact sequence of left(or right) $R$-module splits. That is, for a short exact sequence $$0\to A\xrightarrow[]{f} B\xrightarrow[]{g} C\to 0,$$ there exists $s: C\to B$ s.t. $gs=\mr{Id}_C$. The map $s$ is known as a section. From this follows that $$B\cong A\oplus C,\ or \ B\cong f(A)\oplus s(C).$$ In particular, any module over a semisimple ring is injective and projective. 单模和不可分解模的关系 单模在模论中具有重要的地位. 代数的单模又称为代数的不可约表示. 自然的问题是：对于给定环 $R$ ，单 $R$-模是否存在？对于有限维代数，肯定的答案是显然的. 但对于一般的环, 要讲清这个问题, 需要 Zorn 引理. 数学中通常将 Zorn 引理作为公理. 在实际应用中, 我们经常使用 Zorn 引理的如下特殊形式.

证明

证明. 设 $\mathcal{T}:=\set{I\subset R}{I\tl R\ \text{且}\ 1\notin I}$, 则 $0\in\mathcal{T}$ 且 $\mathcal{T}$ 对于理想的包含关系作成偏序集. 设 $I_1\subset I_2\subset \cdots$ 是 $\mathcal{T}$ 中任一链, 则可以证明 $\bigcup_{i\ges1} I_i\tl R$ 且 $1\notin R$, 即 $\bigcup_{i\ges1} I_i\in \mathcal{T}$. 根据 Zorn 引理, $\mathcal{T}$ 有极大元, 记为 $I$ (为 $R$ 的极大理想). 断言 $R/I$ 是单模. 事实上, 若 $R/I$ 不是单模, 则根据子模对应定理, $R/I$ 有真子模 $L/I$, 其中 $L$ 为 $R$ 的包含 $I$ 的真左理想. 但这与 $I$ 是 $\mathcal{T}$ 的极大元相矛盾.

证明

证明.

1. 因为 $f$ 非零, 所以 $\operatorname{Im} f$ 是 $N$ 的非零子模, $\operatorname{Ker} f$ 是 $M$ 的真子模. 但 $M, N$均为单模, 因此 $\operatorname{Im} f=N, \operatorname{Ker} f=0$, 即 $f$ 为 $R$-模同构.
2. 易知 $M$ 是有限维 $A$-模. 因为 $k$ 代数闭域, 对于 $f \in \operatorname{End}_A(M), f$ 作为 $k$-线性变换有特征值 $c \in k$. 设 $0 \neq m \in M, f(m)=c m$. 则 $M=A m$ 且 $f=c \operatorname{Id}_M$. 这也证明了 $\operatorname{End}_A(M) \cong k$.

5.1. 半单模的刻画

证明

证明. 令 $M_0:=N, S:=I \cup\{0\}$. 令 $\mathcal{T}$ 是 $S$ 的一些子集作成的集合: $\mathcal{T}=\left\{\Omega \subseteq S \mid\right.$ 其中 $0 \in \Omega$, 并且满足 $\left.\sum_{\alpha \in \Omega} M_\alpha=\bigoplus_{\alpha \in \Omega} M_\alpha\right\}$. 因为 $\{0\} \in \mathcal{T}$, 故 $\mathcal{T}$ 非空. 设 $\Omega_1 \subseteq \Omega_2 \subseteq \cdots$ 为 $\mathcal{T}$ 中任意一条链. 注意到 $$ \sum_{\alpha \in \bigcup_{i \ges 1} \Omega_i} M_\alpha=\bigoplus_{\alpha \in \bigcup_{i \ges 1} \Omega_i} M_\alpha $$ 即 $\bigcup_{i \ges 1} \Omega_i \in \mathcal{T}$. 由 Zorn 引理知 $\mathcal{T}$ 有极大元 $L$. 令 $J:=L-\{0\}, M^{\prime}:=\sum_{\alpha \in L} M_\alpha$.则 $$ M^{\prime}=N \oplus\left(\bigoplus_{\beta \in J} M_\beta\right) $$ \断言 $M^{\prime}=M$. 否则, $M^{\prime}$ 是 $M$ 的真子模, 从而存在 $M$ 的单子模 $M_i$ 使得 $M_i \cap M^{\prime}=\{0\}$ (注意 $M_i \cap M^{\prime}$ 同时为 $M_i$ 和 $M'$ 的子模). 因此 $$ M^{\prime}+M_i=M^{\prime} \oplus M_i=\bigoplus_{\alpha \in L \cup\{i\}} M_\alpha $$ 即 $L \cup\{i\} \in \mathcal{T}$. 这与 $L$ 是 $\mathcal{T}$ 的极大元相矛盾.

证明

证明. 设 $N$ 是 $M$ 的子模, $L$ 是 $N$ 的子模. 则 $L$ 也是 $M$ 的子模. 因此存在 $M$ 的子模 $L^{\prime}$ 使得 $M=L \oplus L^{\prime}$. 于是 $N=L \oplus\left(L^{\prime} \cap N\right)$. 即 $N$ 也具有性质 $\mathbf{P}$. 考虑商模 $M / N$, 其中 $N$ 是 $M$ 的子模. 则存在子模 $N^{\prime}$ 使得 $M=N \oplus N^{\prime}$.于是 $M / N \cong N^{\prime}$. 由于 $N^{\prime}$ 具有性质 $\mathbf{P}$, 因此 $M$ 的商模也具有性质 $\mathbf{P}$.

证明

证明. 取 $M$ 中非零元 $x$, 作 $M$ 的一些子模作成的集合: $$ \mathcal{T}_x=\{N \mid N \text { 是 } M \text { 的子模, 并且 } x \notin N\} \text {. } $$ 显然 $\{0\} \in \mathcal{T}_x$. 易见 $\mathcal{T}_x$ 中的任一链的并也在 $\mathcal{T}_x$ 中. 由 Zorn 引理知 $\mathcal{T}_x$ 有极大元 $P$. 从而存在 $M$ 的子模 $P^{\prime}$ 使得 $M=P \oplus P^{\prime}$. 显然 $P^{\prime} \neq 0$. 我们断言 $P^{\prime}$ 是单模. 否则, 设 $Q$ 是 $P^{\prime}$ 的一个非零子模且 $Q \neq P^{\prime}$ . 由于 $P^{\prime} \cong M / P$, 根据子模对应定理知存在 $M$ 的含 $P$ 的子模 $M_1$ 使得 $Q \cong M_1 / P$. 由 $P$ 的极大性知 $x \in M_1$. 另一方面, 根据引理 1.3.5, 存在 $M / P$ 的子模 $M_2 / P$, 使得 $M / P=M_1 / P \oplus M_2 / P$.由于 $M_2 / P \neq\{0\}$, 由 $P$ 的极大性知 $x \in M_2$. 从而 $x \in M_1 \cap M_2=P$, 这与 $x \notin P$ 相矛盾.

6. Wedderburn-Artin定理 In algebra, the Wedderburn-Artin theorem is classification theorem for semisimple rings and semisimple algebras. The theorem states that an (Artinian) semisimple ring $R$ is isomorphic to a product of finitely many $n_i\times n_i$ matrix rings over division rings $D_i$, for some integers $n_i$, both of which are uniquely determined up to a permutation of index $i$. In particular, any simple left or right Artinian ring is isomorphic to an $n\times n$ matrix over a division ring $D$, where both $n$ and $D$ are uniquely determined. For $k$-algebras: If $R$ is finite-dimensional semisimple $k$-algebras, then $R$ is isomorphic to a product of finitely many $n_i\times n_i$ matrix rings $M_{n_i}(D_i)$ over finite-dimensional division algebra over $k$. The center of each $D_i$ need not be $k$, it could be a finite extension of $k$. 7. 范畴与函子 7.1. 范畴

7.2. 函子 在同一个范畴里, 对象之间通过态射相联系; 而在不同的范畴之间通过函子相联系: 函子把一个范畴中的对象映到另一个范畴中的对象, 同时把对象间的态射映到相应对象间的态射. 所以函子实际上就是范畴间的映射, 自然变换则是函子间的映射.

7.3. 自然变换