目录
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1. 备忘录
2. 域扩张的性质
3. 分裂域, 正规扩张, 可分扩张
4. 域扩张的自同构群, 伽罗瓦扩张
5. 伽罗瓦理论
6. 本原元素, 迹与范数
$F[x]$ 一般指环, $F(x)$ 一般指域.
在第二章的§ 2.4 我们讲了构造域 $F$ 的扩域的两条途径. 第一条途径是找一个在域 $F$ 上不可约的首一多项式 $p(x)$ ，则商环 $F[x] /(p(x))$是一个域, 并且 $\sigma: a \mapsto a+(p(x))$ 是 $F$ 到 $F[x] /(p(x))$ 的一个单的环同态，从而可以把 $a$ 与 $a+(p(x))$ 等同. 把 $x+(p(x))$ 记做 $u$ ，则 $F[x] /(p(x))$ 的每一个元素可以唯一地表示成$$
c_0+c_1 u+\cdots+c_{r-1} u^{r-1}$$其中 $r=\operatorname{deg} p(x), c_i \in F, i=0,1, \cdots, r-1$ ；并且 $u$ 是 $p(x)$ 在 $F[x] /(p(x))$中的一个根.
第二条途径是设 $\widetilde{R}$ 是 $F$ 的一个扩环，且 $\widetilde{R}$ 是整环，取 $\widetilde{R}$ 的一个元素 $\tilde{\alpha}, \tilde{\alpha}$ 是 $F$ 上的代数元, 设 $\tilde{\alpha}$ 在 $F$ 上的极小多项式为
$$
m(x)=x^r+b_{r-1} x^{r-1}+\cdots+b_1 x+b_0,
$$
则 $F[\bar{\alpha}]$ 是一个域, 并且 $F[\bar{\alpha}]$ 的每一个元素可以唯一地表示成
$$
c_0+c_1 \tilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1} \tilde{\alpha}^{r-1}
$$
其中 $c_i \in F, i=0,1, \cdots, r-1$.
构造域 $F$ 的扩域的两条途径是相互关联的： $\widetilde{R}$ 的代数元 $\bar{\alpha}$ 在 $F$ 上的极小多项式 $m(x)$ 在 $F$ 上一定不可约, 且
$$
F[\bar{\alpha}] \cong F[x] /(m(x))
$$
从 $F[x] /(m(x))$ 到 $F[\tilde{\alpha}]$ 的一个同构映射 $\varphi$ 为
$$
\varphi\left(c_0+c_1 u+\cdots+c_{r-1} u^{r-1}\right)=c_0+c_1 \tilde{\alpha}+\cdots+c_{r-1} \tilde{\alpha}^{r-1} .
$$
当 $F[\bar{\alpha}]$ 是域时, 我们把 $F[\bar{\alpha}]$ 记做 $F(\widetilde{\alpha})$.
从第二章的 \$ 2.4 的定理 3 和 $\$ 2.5$ 我们还可以得到构造域 $F$ 的扩域的第三条途径: 设 $\widetilde{R}$ 是域 $F$ 的一个扩环, 并且 $\widetilde{R}$ 是整环, 取 $\widetilde{R}$ 的一个元素 $t, t$ 是 $F$ 上的超越元, 则 $F[t] \cong F[x]$. 于是 $F[t]$ 是整环. 我们把 $F[t]$ 的分式域记做 $F(t)$. 容易看出, $F(t)$ 同构于 $F[x]$ 的分式域 $F(x)$.
这一章我们来研究域扩张的性质, 目标是讲述伽罗瓦理论.
历史上研究域扩张的推动力来自数域 $F$ 上一元高次方程 $f(x)=0$ 可用根式求解的条件. 为此需要把多项式 $f(x)$ 的所有复根与 $F$ 一起形成复数域 $\mbc$ 的一个子域, 而且使这个子域是包含 $F$ 和 $f(x)$ 所有复根的域中最小的一个. 从这个想法引出下述概念:
我们在前面说过, 当 $F[\alpha]$ 是域时, 把它记作 $F(\alpha)$, 其道理就是这里所讲的.
类似于习题3.3的第2题所述, 域 $F$ 添加 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 得到的子域 $F(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 中的元素是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的多项式.
$$F(a_1,a_2,\cdots,a_n)=F(\alpha_1)(\alpha_2)\cdots(\alpha_n).$$
从而若 $\beta_1,\cdots,\beta_m\in K$, 则
$$ F(a_1,\cdots,a_n,\beta_1,\cdots,\beta_m)=F(a_1,a_2,\cdots,a_n)(\beta_1,\cdots,\beta_m).$$
现在我们从另一个角度研究域扩张, 这可以帮助我们揭示域扩张的一些内在性质.
设 $K/F$ 是一个域扩张, 则 $K$ 可以看成是域 $F$ 上的一个线性空间, 其维数为 $K$ 在 $F$ 上的次数, 记作 $[K:F]$. 若 $[K:F]$ 是正整数, 则称 $K$ 是域 $F$ 上线性空间的一个基, 也叫做域扩张 $K/F$ 的一个基.
- $\mbq(\sqrt{2})$ 是 $\mbq$ 上次数为 $2$ 的有限扩张, $\{1,\sqrt{2}\}$ 为域扩张 $\mbq(\sqrt{2})/\mbq$ 的一组基.
- $\mbr/\mbq$ 是 $\mbq$ 上的无限域扩张.
$$a_0+a_1\beta+\cdots+a_n\beta^n=0,$$
即非零多项式 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in F[x]$ 满足 $f(\beta)=0$, 从而 $\beta$ 是 $F$ 上的代数元.
从 定理 4 得有限扩张必为代数扩张.
$$[F(\alpha):F]=n,$$
且 $1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$ 为 $F(\alpha)/F$ 的一组基.
$$b_0+b_1\alpha+\cdots+b_{n-1}\alpha^{n-1}.$$
令 $g(x)=b_0+b_1x+\cdots+b_{n-1}x^{n-1}$, 则 $g(\alpha)=0$ 且 $g(x)\ne0$, 这与 $m(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式矛盾. 因此, $1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$ 在 $F$ 上线性相关. 又
$$F(\alpha)=F[\alpha]=\set{c_0+c_1\alpha+c_{n-1}\alpha^{n-1}}{c_i\in F}.$$
因此 $1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}$ 为 $F(\alpha)$ 的一组基, 从而 $[F(\alpha):F]=n$.
定理 6 表明, 域 $F$ 添加 $F$ 上的一个代数元 $\alpha$ 得到的单扩张 $F(\alpha)$ 一定是有限扩张, 从而 $F(\alpha)/F$ 是代数扩张. 于是我们把 $F(\alpha)/F$ 称为单代数扩张.
域 $F$ 添加 $F$ 上的一个超越元 $t$ 得到的单扩张 $F(t)$ 称为单超越扩张. 在本章开头已指出, $F(t)$ 同构于 $F[x]$ 的分式域.
- $K/F$ 是有限扩张;
- $K/L$ 和 $L/F$ 是有限扩张,
- $f(x)$ 在 $E[x]$ 中能分解成一次因式的乘积, 即
$$f(x)=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n),\ \alpha_i\in E.$$ - $E=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$,
条件1表明 $E$ 包含了 $f(x)$ 的所有复根, 条件2表明 $E$ 是 $\mbc$ 中包含 $F$ 和 $f(x)$ 的所有复根的最小子域.
任给一个域 $F$ 上的任一次数大于 0 的多项式 $f(x)$, 它在 $F$ 上的分裂域是否存在? 如果存在, 是否唯一? 首先回答存在性问题.
\begin{align*}
f(x)&=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\in E[x],\\
f(x)&=a(x-\beta_1)(x-\beta_2)\cdots(x-\beta_n)\in E'[x],
\end{align*}
由于 $E\subset L, E'\subset L$, 因此上述两式都是 $f(x)$ 在 $L[x]$ 中的因式分解. 由唯一因式分解定理得 $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 是 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 的一个排列, 从而
$$E=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)=F(\beta_1,\cdots,\beta_n)=E'.$$
\begin{align*}
f(x)&=a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\\
f(x)&=a(x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0), \ b_i\in F.
\end{align*}
由韦达定理得
\begin{align*}
b_{n-1}&= (\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)\\
b_{n-k}&=(-1)^k\sum_{1\les i_1< \cdots< i_k\les n} \alpha_{i_1}\cdots\alpha_{i_k}\\ b_0&=(-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n. \end{align*} 因为 $\eta$ 是 $L$ 的 $F$-自同构, 因此 \begin{align*} b_{n-1}=\eta(b_{n-1})&= \big(\eta(\alpha_1)+\eta(\alpha_2)+\cdots+\eta(\alpha_n)\big)\\ b_{n-k}=\eta(b_{n-k})&=(-1)^k\sum_{1\les i_1< \cdots< i_k\les n} \eta(\alpha_{i_1})\cdots\eta(\alpha_{i_k})\\ b_0=\eta(b_0)&=(-1)^n\eta(\alpha_1)\eta(\alpha_2)\cdots\eta(\alpha_n). \end{align*} 从而 \begin{align*} &a\big(x-\eta(\alpha_1)\big)\big(x-\eta(\alpha_2)\big)\cdots\big(x-\eta(\alpha_n)\big)\\ =&a(x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0)=f(x). \end{align*} 从上式看出, $f(x)$ 在 $\eta(E)[x]$ 中分解成了一次因式的乘积, 又 $E=F(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$, 因此 $$\eta(E)=F\big(\eta(\alpha_1),\eta(\alpha_2),\cdots,\eta(\alpha_n)\big).$$ 从而 $\eta(E)$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的一个分裂域. 由于 $E$ 和 $\eta(E)$ 都是 $L$ 的子域, 因此 $\eta(E)=E$.
从此命题受到启发, 我们引出下述概念:
命题 14 给出了正规扩张的一个充分条件, 可以证明这个条件也是有限正规扩张的必要条件. 我们有下述定理:
4. 域扩张的自同构群, 伽罗瓦扩张 伽罗瓦是通过域扩张的自同构群来研究一元高次方程可用根式求解的问题, 因此引出下述概念:
$$|\Gal{E/F}|=[E:F].$$
$$
\operatorname{Inv}(G):=\{\alpha \in E \mid \eta(\alpha)=\alpha, \forall \eta \in G\}
$$
任取 $\alpha, \beta \in \operatorname{Inv}(G), \forall \eta \in G$, 有
$$
\begin{gathered}
\eta(\alpha-\beta)=\eta(\alpha)-\eta(\beta)=\alpha-\beta, \\
\eta(\alpha \beta)=\eta(\alpha) \eta(\beta)=\alpha \beta, \\
\eta\left(\beta^{-1}\right)=\eta(\beta)^{-1}=\beta^{-1}, \quad \beta \neq 0
\end{gathered}
$$
因此, $\alpha-\beta, \alpha \beta, \beta^{-1}(\beta \neq 0) \in \operatorname{Inv}(G)$. 从而 $\operatorname{Inv}(G)$ 是 $E$ 的一个子域. 我们把 $\operatorname{Inv}(G)$ 称为 $E$ 的 $G$ 不动域, 或者称 $\operatorname{Inv}(G)$ 是 $G$ 的不动域.
设 $G$ 是 $E$ 的一个有限自同构群, $|G|$ 与 $[E: \operatorname{Inv}(G)]$ 有什么关系？
$$
[E: F] \leqslant|G|
$$
根据域扩张 $E / F$ 的伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的定义，一定有
$$
F \subseteq \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))
$$
上式中的临界点, 即等号成立时的域扩张是特别重要的域扩张. 于是我们引出下述概念：
有限伽罗瓦扩张具有什么性质？它与多项式的分裂域有什么联系? 下面的定理回答了这个问题.
- $E / F$ 是有限可分正规扩张;
- 设 $f(x)\in F[x]$ 为可分多项式. $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域;
- $E / F$ 是有限伽罗瓦扩张.
$$
|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F] \text {. }
$$
$$\Omega=\Gal{E/F}\alpha.$$
令 $E_1=F\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m\right)$, 则 $E_1$ 是 $p(x)$ 在 $F$ 上的分裂域. 于是 $E_1 / F$ 是有限伽罗瓦扩张, 并且 $\operatorname{Gal}\left(E_1 / F\right)$ 同构于 $\Omega$ 上的一个置换群 (即 $S_{\Omega}$ 的一个子群).
我们来探讨哪些域扩张是有限伽罗瓦扩张.
$$
\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H))=H .
$$