定义 1 (Hamel 基). 设 $V$ 是 $\mathbb{K}$ 线性空间. 集合 $\mathscr{B}\subset V$ 称为 $V$ 的一组基如果
- $\mathscr{B}$ 是线性无关的: 对任意有限集合 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\subset \mathscr{B}$ 有
$$ \sum_{i=1}^n a_ie_i=0\ \ \Rightarrow \ \ a_i\equiv0.$$ - $\mathscr{B}$ 生成全空间 $V$: 对任意 $v\in V$, 存在有限集合 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\subset \mathscr{B}$ 和有限数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 使得
$$ v=\sum_{i=1}^n a_ie_i.$$
注记 1. 用直和的语言, $\mathscr{B}$ 为 $V$ 的 Hamel 基当仅当
$$ V=\bigoplus_{e_i\in\mathscr{B}} \mathbb{K}e_i.$$
$$ V=\bigoplus_{e_i\in\mathscr{B}} \mathbb{K}e_i.$$
定理 2. 每个向量空间都有一组 Hamel 基.
在模论的语言下, 向量空间是半单模.分析：有限个元素组成的基无法张成全空间. 可以一步一步扩充这组基, 但这样只能到任意有限步, 最多到可列步. 考虑用 Zorn 引理找出“最大 的一组基, 即对包含关系找出极大线性无关集.
证明
证明. 设 $V$ 是域上的线性空间, $V\ne\{0\}$. 令
$$P=\set{S\sbs V}{S\ \text{是线性无关集}},$$
则 $P$ 对于包含关系作成偏序集 $(P,\les)$. 因为任何单点集 $\{v\}$ 是线性无关的, 所以 $P$ 是非空的.
设 $\cc\sbs P$ 是一条链, 记 $\cc=\{S_\alpha\}_{\alpha\in I}$. 断言 $M=\cup_{\alpha\in I} S_\alpha$ 是 $\cc$ 的上界, 显然 $S_\alpha\sbs M,\ff \alpha\in I$, 只需说明 $M\in P$. 若 $M\notin P$, 则 $M$ 不是线性无关集, 即存在 $\{s_1, s_2,\cdots, s_n\}\sbs M$ 线性相关. 设 $s_i\in S_i, 1\les i\les n$, 因为 $\cc$ 是全序集, 所以 $\{S_1,S_2,\cdots,S_n\}$ 中有极大元, 不妨设为 $S_1$, 则 $\{s_1, s_2,\cdots, s_n\}\sbs S_1$ , 但 $S_1$ 是线性无关族, 矛盾! 故 $M$ 是 $\cc$ 的上界.
由 Zorn 引理得, $P$ 有极大元 $\cb$. 断言 $\cb$ 是 $V$ 得一组 Hamel 基. 因为 $\cb$ 是线性无关族, 故只需说明 $\mr{span} \cb=V.$ 若 $\mr{span}\cb\subsetneq V$, 则取 $v\in V\backslash \mr{span}\cb$, 则可以验证 $\cb\cup\{v\}$ 也是线性无关族, 这与 $\cb$ 为极大元矛盾. 故 $\cb$ 是 $V$ 的一组 Hamel 基.
设 $\cc\sbs P$ 是一条链, 记 $\cc=\{S_\alpha\}_{\alpha\in I}$. 断言 $M=\cup_{\alpha\in I} S_\alpha$ 是 $\cc$ 的上界, 显然 $S_\alpha\sbs M,\ff \alpha\in I$, 只需说明 $M\in P$. 若 $M\notin P$, 则 $M$ 不是线性无关集, 即存在 $\{s_1, s_2,\cdots, s_n\}\sbs M$ 线性相关. 设 $s_i\in S_i, 1\les i\les n$, 因为 $\cc$ 是全序集, 所以 $\{S_1,S_2,\cdots,S_n\}$ 中有极大元, 不妨设为 $S_1$, 则 $\{s_1, s_2,\cdots, s_n\}\sbs S_1$ , 但 $S_1$ 是线性无关族, 矛盾! 故 $M$ 是 $\cc$ 的上界.
由 Zorn 引理得, $P$ 有极大元 $\cb$. 断言 $\cb$ 是 $V$ 得一组 Hamel 基. 因为 $\cb$ 是线性无关族, 故只需说明 $\mr{span} \cb=V.$ 若 $\mr{span}\cb\subsetneq V$, 则取 $v\in V\backslash \mr{span}\cb$, 则可以验证 $\cb\cup\{v\}$ 也是线性无关族, 这与 $\cb$ 为极大元矛盾. 故 $\cb$ 是 $V$ 的一组 Hamel 基.
注记 2. 基于 Zorn 引理的软证明, 难以找到具体的一组 Hamel 基.
例子 1. $\mbr$ 可以视为 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间. 那么存在 Hamel 基 $\mathscr{B}\subset \mbr$ 使得对任意 $x\in\mbr$ 有
$$x=\sum_{i=1}^n r_ie_i,$$其中 $r_i\in\mathbb{Q}, e_i\in\mathscr{B}.$
由下面的定理可以说明 $\mathscr{B}$ 是不可数的.
$$x=\sum_{i=1}^n r_ie_i,$$其中 $r_i\in\mathbb{Q}, e_i\in\mathscr{B}.$
定义 3 (Schauder 基). 设 $(X,||\cdot||)$ 是一个 Banach 空间. 定义 $\mathscr{B}=\{e_i\}_{i\in \mbn}\subset X$ 为 $X$ 的一组 Schauder 基, 如果对任意 $x\in X$, 存在唯一的数列 $\{a_i\}_{i\in\mbn}$ 使得
$$ x=\sum_{i=0}^\infty a_ie_i.$$
注意：Schauder 基在定义的时候就是可数的!
$$ x=\sum_{i=0}^\infty a_ie_i.$$
例子 2. 对于 $l^p, p\ges1$, 如下为一组 Schauder 基
$$e_1=(1,0,0,\cdots),\ \ e_2=(0,1,0,\cdots),\cdots.$$此外在适当的函数空间中, Fourier 级数和 Taylor 级数的基也是 Schauder 基.
$$e_1=(1,0,0,\cdots),\ \ e_2=(0,1,0,\cdots),\cdots.$$此外在适当的函数空间中, Fourier 级数和 Taylor 级数的基也是 Schauder 基.
定理 4. 无穷维 Banach 空间中没有可数的 Hamel 基.
推论 5. 无穷维 Banach 空间中的 Schauder 基一定不是 Hamel 基.