抽象代数回顾

定义 1 (线性空间). 定义了数乘的 Abel 群, 常讲 “$数域 \mathbb{K}$ 上的线性空间”.

定义 2 (环). 定义了乘法的 Abel 群.

定义 3 (整环). 不含零因子的含幺交换环.

定义 4 (主理想整环).

1. 每个理想都是主理想的交换环是主理想环;
2. 每个理想都是主理想的交换整环是主理想整环, 简记为 PID.

定义 5 (除环). 定义了除法的环, 即任意非零元有乘法逆元.

定义 6 (代数闭域). Algebraically closed fields, 非常数 $f(x)\in \mathbb{K}[x]$ 在 $\mathbb{K}$ 中有根.

定义 7 (代数). 定义了乘法的 $\mathbb{K}$-线性空间, 常讲“ $\mathbb{K}$ 上的代数”.

定义 8 (可除代数). 定义了除法的代数, 任一非零元有乘法逆元.

定义 9 (模).

1. 环上的模, 左 $R$-模：定义了左 $R$-作用的加群
2. 代数上的模, 左 $A$-模：定义了左 $A$-作用的 $\mathbb{K}$-线性空间

定义 10 (单模). 没有非零真子模的模.

定义 11 (不可分解模). 不能被分解为两个非零子模的直和的模.

定义 12 (正规子群). 任一一个左陪集等于右陪集的子群, 即若 $H\les G$ 又 $aH=Ha,\ff a\in G.$

定义 13 (理想). 设 $(R,+,\cdot)$ 是环, $I$ 是 $R$ 的加法子群且 $RI\subset I (IR\subset I)$, 则称 $I$ 为 $R$ 的一个左(右)理想. 双边理想简称理想.

定义 14 (主理想). 由一个元素 $a$ 生成的理想 $\lra{a}$, 对左乘、右乘、左乘右乘和加法封闭.

定义 15 (商群). 设 $H\tl G$, 则 $H$ 的全部陪集组成的集合 $$G/H:=\set{aH}{a\in G}$$ 关于二元运算 $$(aH)\cdot(bH):=(ab)H$$ 作成的群称为商群, 仍记为 $G/H.$

定义 16 (商环). 设 $I\tl R$, 在 $I$ 的加法陪集集合 $\set{r+I}{r\in R}$ 上定义 $$ (r+I)+(s+I)=(r+s)+I,\ \ (r+I)(s+I)=rs+I,$$ 则此集合关于上述加法和乘法作成环, 称为商环, 仍记为 $R/I.$

定义 17.

1. 群同态：$f:G\to G$ 满足 $f(ab)=f(a)f(b).$
2. 环同态：$f:R\to R'$ 满足 $$ f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)f(b),\ f(1_R)=1_{R'}.$$
3. 代数同态：环同态 ＋ $\mathbb{K}$-线性映射 $$ f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)f(b),\ f(1_A)=1_{A'},\ f(ka)=kf(a).$$
4. 模同态： $$f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(rm)=rf(m).$$