同态基本定理与向量空间

设 $U,V$ 为域上的线性空间, 我们知道对线性映射 $f:U\to V$ 有同态基本定理
$$U/\Ker f\cong \Im f.$$
这是否表明 $U\cong \Im f\oplus \Ker f$? 我觉得这个同构是对的. 特别地, 当 $V=U$ 时, 有 $U=\Im f\oplus \Ker f$, 我觉得这个也是对的. 这个分解看起来那么有用, 为什么学高代的时候没人提? 我觉得可能是因为, 与 Fitting 引理相比, $f$ 在 $\Im f$ 上的限制不一定是自同构, 在 $\Ker f$ 上的限制也不一定是幂零的.
同态基本定理很有用, 由它可以直接得到有限维线性空间上的线性变换是单的或者满的, 则一定是同构.
事实上, 上面的思考和断言有很多是错误的. 首先, 如果仅由同态基本定理, 推得单线性变换是同构, 那有限维空间的有限维限制体现在哪里? 按照这个思路, 任何向量空间上的单线性变换都是同构, 这是不对的, 有这么强的结论早就有人提出来了.
后来才发现, 确实是有限维和无限维, 或者说有限集和无限集有着本质的差别. 另一方面, “同构”和“等于”两个概念还是有区别的. 比如考虑 $\mbz$ 模单同态
$$ f:\mbz\to\mbz,\ n\mapsto 2n,$$
由模同态基本定理得 $\mbz/\Ker f\cong \Im f$, 因为 $\Ker f=0$, 故 $\mbz\cong 2\mbz$. 现在问题好像是浮出水面了, $\mbz\cong 2\mbz$ 这个关系式没有错, 但是 $\mbz\ne2\mbz$, $\Im f$ 同构于 $\mbz$ 不能说明 $f$ 是满射!
还有一个比较有意思的地方, $\dim_\mbz\mbz=\dim_\mbz2\mbz=1$, $2\mbz$ 作为 $\mbz$ 的子模, 维数和大模相等, 但是子模和大模并不相等. 这是和线性空间比较大的一个差别. 在线性空间中, 子空间维数如果等于全空间的维数, 则这个子空间就是全空间. 这表明环上的线性空间和域上的线性空间有着本质上的差别, 域上的线性空间在某种意义下更贴近现实.
从上面也可以看出 Fitting 引理的强大之处, 它比同态基本定理更强, 因为 Fitting 引理给出的结果是“等号”, 而同态基本定理只是“同构”
$$M=\Im f^N\oplus \Ker f^N.$$
Fitting 引理在矩阵情形反映的是矩阵的上面分解？矩阵的等价标准型？