目录
1. 基本方法
2. 经典例子
3. 光滑性提升
4. 非经典解
1. 基本方法 微分方程 $y''-Cy=0$ 的解为
- $\ C=0:\ y=ax+b.$
- $C>0:\ y=C_1\mre^{\lambda x}+C_2\mre^{-\lambda x},$ 其中 $\lambda=\sqrt{C}>0$.
- $\ C<0:\ y=C_1\sin {\lambda x}+C_2\cos{\lambda x},$ 其中 $\lambda=\sqrt{-C}>0$.
例子 1. 设 $f\in C^\infty(\mbr)$. 求解函数方程
- $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
- $f(x+y)=f(x)f(y)$.
例子 2. 设 $f\in C^\infty(\mbr), f(0)=1$, 求解函数方程 $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y).$
证明
证明. 分别对函数方程中的 $x$ 和 $y$ 求两次导数得到
\begin{align*}
f''(x+y)+f''(x-y)&=2f''(x)f(y)\\
f''(x+y)+f''(x-y)&=2f(x)f''(y)
\end{align*}
那么 $f''(x)f(y)=f(x)f''(y)$, 分离变量得
$$\frac{f''(x)}{f(x)}=\frac{f''(y)}{f(y)}\equiv C.$$
因此只需求解方程 $f''(x)-Cf(x)=0$. 在原方程中令 $x=y$ 得到单变量方程 $f(2x)=2f^2(x)-1$, 求导得到 $f'(0)=0$, 这是解需满足的必要条件, 接下来根据 $C$ 的符号, 结合初始条件以及这个必要条件来筛解.
- $C=0$ 时, $f''(x)=0, f(x)=ax+b$, 由必要条件得 $f$ 只能是常数.
- $C>0$ 时, 解得 $$ f(x)=C_1\mre^{\sqrt{C}x}+C_1\mre^{-\sqrt{C}x}\ \Rightarrow\ f(x)=\frac{\mre^{\lambda x}+\mre^{-\lambda x}}{2}, \lambda\ne0.$$
- $C<0$ 时, 解得 $$f(x)=C_1\cos ax+C_2\sin ax\ \Rightarrow\ f(x)=\cos\lambda x, \lambda\ne0.$$
注记 1. 事实上, $f$ 只需要在 $\mbr$ 上连续, 再结合函数方程就能推出 $f$ 在 $\mbr$ 上任意阶可导.
例子 3. 设 $f\in C^\infty(\mbr)$. 求解函数方程
$$ f^2(x)-f^2(y)=f(x+y)f(x-y).$$
证明
证明. 首先显然有 $f(0)=0$. 原式两边对 $x$ 求导得
$$ 2f(x)f'(x)=f'(x+y)f(x-y)+f(x+y)f'(x-y),$$
再同时两边对 $y$ 求导得
$$0=f''(x+y)f(x-y)-f(x+y)f''(x-y).$$
令 $u=x+y,v=x-y$, 则可分离变量为
$$\frac{f''(u)}{f(u)}=\frac{f''(v)}{f(v)}\equiv C.$$
分类讨论得
- $\ C=0: f(x)=\tilde{C}x$.
- $C>0: f(x)=\tilde{C}\sinh (\lambda x)$.
- $\ C<0: f(x)=\tilde{C}\sin (\lambda x)$.
例子 4. 设 $f\in C^\infty(\mbr)$. 求解函数方程
$$ f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)},\ f(0)=0.$$
例子 5. 设 $f,g\in C^\infty(\mbr), f(0)=0, g(0)=1$ 且 $f$ 为奇函数, $g$ 为偶函数. 求解函数方程
\begin{align*}
f(x+y)&=f(x) g(y)+g(x) f(y) \\
g(x+y)&=g(x) g(y)-f(x) f(y).
\end{align*}
证明
证明.
注记 2.
3. 光滑性提升
4. 非经典解
- 边界条件是多余的.
- 若去掉奇偶性条件, 两式相除可得到 $$ \vp(x+y)=\frac{\vp(x)+\vp(y)}{1-\vp(x)\vp(y)},\ \vp(0)=0.$$ 其中 $\vp(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$ 容易看出 $\vp$ 是奇函数.