我们熟知
$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{\frac{n}{2}\cdot\frac{n+1}{2}}{\frac12}.$$
又有
\begin{equation}\label{san_jiao_qiu_he}
\sin 1+\sin 2+\cdots+\sin n=\frac{\sin \frac{n}{2} \sin \frac{n+1}{2}}{\sin \frac12}.
\end{equation}
想问
问题 1. 有多少个互不同构的连续函数 $f$ 使得
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)=\frac{f(\frac{n}{2})f(\frac{n+1}{2})}{f(\frac12)}.$$
$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)=\frac{f(\frac{n}{2})f(\frac{n+1}{2})}{f(\frac12)}.$$
直接求解这个式子或差分后求解都没找到.
式 \eqref{san_jiao_qiu_he} 是用三角函数的和差化积算出来的, 想到双曲三角函数也有和差化积公式, 发现下面的式子也是对的
\begin{equation}
\sinh 1+\sinh 2+\cdots+\sinh n=\frac{\sinh \frac{n}{2} \sinh \frac{n+1}{2}}{\sinh \frac12}.
\end{equation}
目前已知函数 $\lambda x, \sin(\lambda x), \sinh(\lambda x) $ 满足以下式子
$$f(x)+f(2x)+\cdots+f(nx)=\frac{f(\frac{n}{2}x)f(\frac{n+1}{2}x)}{f(\frac12x)}.$$