对于自治动力系统 $ \dot{x}=f(x) $, 从 $ x_{0} $ 处出发的解曲线称为流 (flow), 它形成一个单参数变换群 $ \{\varphi_t\}_{t \in \mathbb{R}} $. 流的存在性和唯一性通常由解的存在性和唯一性定理保证.
流 $ \varphi_t(x_{0}) $ 表示从初始状态 $ x_{0} $ 出发, 经过时间 $ t $ 后的状态, 它满足以下性质:
- 恒等映射: $ \varphi_0=\mathrm{Id} $
- 群性质: $ \varphi_{t+s}=\varphi_t \circ \varphi_s $
- 光滑性: $ \varphi_t $ 是光滑的
证明
后者是 $ \dot{x}=f(x) $, $ x(0)=\varphi_{s}(x_{0}) $ 的解. 对于前者, 考察
$$
\dot{x}=f(x),\quad x(0)=x_{0}
$$解为 $ x(t)=\varphi_t(x_{0}) $. 令 $ y(t)=x(t+s)=\varphi_{t+s}(x_{0}) $, 则
$$
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t+s)=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}(t+s)}(t+s)=f(x(t+s))=f(y(t)),
$$又 $ y(0)=\varphi_{s}(x_{0}) $, 则两者皆为同一 IVP 的解, 由解的唯一性即得结论.
对于非自治系统 $ \dot{x}=f(x,t) $, 解的存在性和唯一性同样可以在适当条件下(如 $ f $ 对 $ x $ 是 Lipschitz 连续的, 对 $ t $ 是连续的)得到保证.
但非自治系统的解通常不具备流的群性质, 因为向量场通常不具备时间平移不变性. 非自治动力系统的解不能表示为单参数流 (flow), 而需要用一个双参数的"过程" (process) 或"演化算子"来描述.
下面的内容来自科学出版社翻译的《常微分方程》(第一版, Arnold 著).
相曲线, 作为相空间中的参数化曲线, 我们想得知它整体的拓扑性质, 自然会问出两个问题:
- 不同的相曲线是否相交
- 单条相曲线是否会自交
在某种自然的意义下, 两个问题都是否定的: 在 $ f $ 满足 Lipschitz 条件时, 我们有如下结论
- 在延拓的意义下, 不同的相曲线不会相交. 若两条相曲线相交, 则延拓后为同一相曲线.
- 单条相曲线不会自交, 除非为周期解.
证明
$$
\dot{z}=-f(z),\quad z(0)=x^{*}
$$与解的唯一性矛盾!
(2) 积分方法(一维):
$$
T=\int_{0}^{T} \mathrm{d}t=\int_{x_{0}}^{x^{*}} \frac{\mathrm{d}x}{f(x)}=\infty
$$因为 $ f $ 在 $ x^{*} $ 处Lipschitz连续, 即
$$
|f(x)|=|f(x)-f(x^{*})| \leq L|x-x^{*}|
$$高维情形: 从 $ x_{0} $ 到 $ x^{*} $ 的路径上存在类似估计.
$$
\dot{x}=x^{\frac{1}{3}},\quad x(0)=0 \Rightarrow x=\pm \left(\frac{2}{3}t\right)^{\frac{3}{2}}
$$
两条相曲线相交于原点.