Hartman-Grobman定理｜阿贝尔的数学之旅

目录
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1.  Hartman-Grobman定理
   1.1.  线性系统的稳定性
2.  稳定与不稳定流形
   2.1.  稳定与不稳定流形
   2.2.  等价性定理
3.  Hartman-Grobman 定理

1. Hartman-Grobman定理

1.1. 线性系统的稳定性

考虑如下系统的稳定性：
$$ \dot{x} = Ax $$

因为稳定性的定义在线性变换下不变，所以不妨设 $ A $ 为 Jordan 标准型。

由 Jordan 块指数的显式表达
$$ \mathrm{e}^{tJ} = \mathrm{e}^{(\operatorname{Re}\lambda)t}
\left[\begin{array}{ccccc}
1 & t & \frac{t^2}{2!} & \cdots & \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \\
& 1 & t & \ddots & \vdots \\
& & 1 & \ddots & \frac{t^2}{2!} \\
& & & \ddots & t \\
& & & & 1
\end{array}\right] $$

得线性系统的长时间动力学行为由 $ \lambda $ 的特征值 $ \lambda $ 的实部决定。一般来说长时间动力学依赖于初始条件以及两个线性子流形 $ E^{+}(\mathrm{e}^{A}) $ 与 $ E^{-}(\mathrm{e}^{A}) $，其中
$$ \lim_{t\rightarrow+\infty}x(t) = 0,\ \forall x(0)\in E^{+}(\mathrm{e}^{A});\quad \lim_{t\rightarrow-\infty}x(t) = 0,\ \forall x(0)\in E^{-}(\mathrm{e}^{A}) $$

这两个线性流形分别称为稳定流形与不稳定流形，分别由正、负实部的广义线性向量张成：
$$ E^{\pm}(\mathrm{e}^{A}) = \bigoplus_{\pm\operatorname{Re}(\lambda_j)<0}\ker(A-\lambda_j I)^{a_j},\quad $$ 其中 $a_j $ 为 $ \lambda_j $ 的代数重数。类似地可以定义零实部特征值对应的特征向量张成的中心流形。一般来说中心流形在小扰动下是不稳定的，因此一般假设特征值实部都非零，这样的系统称为双曲系统。

定理 1. 设矩阵 $ A $ 的特征值为 $ \lambda_j $， $ 1\leqslant j\leqslant m $，并分别以 $ a_j $， $ g_j $ 表示 $ \lambda_j $ 的几何重数。那么

系统 $ \dot{x} = Ax $ 是全局稳定的(GS) $ \Leftrightarrow \operatorname{Re}(\lambda_j)\leqslant 0 $ 且 $ \operatorname{Re}(\lambda_j) = 0 $ 时 $ a_j = g_j $。
系统 $ \dot{x} = Ax $ 是全局渐近稳定的(GAS) $ \Leftrightarrow \operatorname{Re}(\lambda_j)<0 $， $ \forall j $ 此时存在常数 $ C $ 使 $ \forall \lambda<\min_{1\leqslant j\leqslant m}\{ -\operatorname{Re}\lambda_j\} $ 有 $$ \|\mathrm{e}^{tA}\|\leqslant C\mathrm{e}^{-\lambda t},\forall t\geqslant 0. $$

现在我们考察双曲情形。由上一定理以及事实"稳定与不稳定流形在流性变换 $ A $ 下不变(因此在 $ \mathrm{e}^{tA} $ 下也不变)"可以得到如下定理：

定理 2. 线性稳定与不稳定流形 $ E^{\pm} = E^{\pm}(\mathrm{e}^{A}) $ 在流下不变，并且从 $ E^{\pm} $ 出发的轨道指数收敛到 $ 0 $， $ t\rightarrow\pm\infty $。更进一步， \begin{equation} \|\mathrm{e}^{tA}x_\pm\|\leqslant C\mathrm{e}^{\pm\lambda t}\|x_\pm\|,\quad \pm t\geqslant 0,\quad x_\pm\in E^{\pm}, \end{equation} 其中 $$ C = C(\alpha),\quad \alpha<\min\{ \operatorname{Re}\lambda_j\mid \lambda_j\in \sigma(A),\ \pm\operatorname{Re}\lambda_j<0\}. $$

2. 稳定与不稳定流形引入如下空间是有用的： $$ E^{\pm,\lambda}(\mathrm{e}^{A}) = \bigoplus_{\mp\operatorname{Re}\lambda_j>\lambda} \ker(A-\lambda_j I)^{a_j} = E^{\pm}(\mathrm{e}^{A\pm\lambda I}) $$

2.1. 稳定与不稳定流形

这一节将之前的结果推广到非线性系统。我们定义一个不动点的稳定集与不稳定集：
$$ W^{\pm}(x_0) = \left\{x\in M\mid \lim_{t\rightarrow\pm\infty}|\Psi(t,x)-x_0| = 0\right\}. $$

两个集合在流下显然是同时正、负不变的，下面考察这两个集合。

设 $ f\in C $ 在 $ x_0\in M $ 处消失，那么
$$ f(x) = f'(x_0)(x-x_0)+g(x),\quad g(x) = o(|x-x_0|) $$

在一维情况我们已经知道当 $ f'(x)\neq 0 $ 时可以得知原系统的稳定性，本节将这一结果推广到高维。

称不动点 $ x_0 $ 是双曲的，若线性化系统是双曲的。固定邻域 $ U(x_0) $ 并定义：
$$ M^{\pm,\lambda}(x_0) = \left\{x\mid \Psi(t,x)\in U(x_0),\ \sup_{\pm t>0}\mathrm{e}^{\pm\lambda t}|\Psi(t,x)-x_0|<\infty\right\}. $$

定义 3 (局部稳定流形). 定义不动点 $ x_0 $ 处的局部稳定、不稳定流形为指数收敛到 $ x_0 $ 的点， $ t\rightarrow\pm\infty $，即 $$ M^{\pm}(x_0) = \bigcup_{\lambda>0}M^{\pm,\lambda}(x_0). $$两个集合分别是 $ \pm $ 不变的。

在线性系统中显然有 $ M^{\pm}(0) = E^{\pm} $，我们的目标是证明 $ M^{\pm}(x_0) $ 的确是流形并且 $ E^{\pm} $ 在 $ x_0 $ 处与 $ M^{\pm}(x_0) $ 相切，最后再证明在双曲系统中 $ M^{\pm}(x_0) = W^{\pm}(x_0) $。

为了符号上的方便，设 $ x_0 = 0 $ 为双曲不动点。关键想法是将寻找稳定流形转化为积分方程，再用迭代的方法求解。

由常数变易公式得：
$$ x(t) = \mathrm{e}^{tA}x(0)+\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{(t-r)A}g(x(r))\mathrm{d}r $$

记 $ P^{\pm} $ 为到稳定与不稳定子空间 $ E^{\pm}(\mathrm{e}^{A}) $ 的投影算子，
$$ x_{\pm} := P^{\pm}x(0),\quad g_{\pm}(x) = P^{\pm}g(x). $$

现在的问题是对 $ x(0) = x_{+}+x_{-} $ 施加什么条件才能使 $ x(t) $ 有界。显然，当 $ g(x) = 0 $ 时，这个条件可以是 $ x_{-} = 0 $。从一些简单的例子中得到启示： $ x_{+} $ 与 $ x_{-} $ 一般满足一定关系。我们希望将 $ x_{-} $ 表示为 $ x_{+} $ 的函数： $ x_{-} = h^{+}(x_{+}) $。

为此我们将上式投影到 $ E^{-} $ 上，并尝试解出 $ x_{-} $：
$$ x_{-} = \mathrm{e}^{-tA}x_{-}(t)-\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{-rA}g_{-}(x(r))\mathrm{d}r. $$

其中 $ x_{\pm}(t) = P^{\pm}x(t) $ 。如果考虑 $ |x(t)| $ 有界情形， $ t \geqslant 0 $ ，令 $ t \to +\infty $ 得

\begin{equation*}
x_{-} = -\int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-rA}g_{-}(x(r))\, \mathrm{d}r
\end{equation*}回代到(2)中得

$$x(t) = \mathrm{e}^{tA}x_{+} + \int_{0}^{t}\mathrm{e}^{(t-r)A}g_{+}(x(r))\mathrm{d}r - \int_{t}^{\infty}\mathrm{e}^{(t-r)A}g_{-}(x(r))\mathrm{d}r$$令
$$P(t) = \begin{cases}
P^{+}, & t > 0 \\
-P^{-}, & t \leqslant 0
\end{cases}$$那么(3)式可写为
$$x(t) = K(x)(t)$$其中
$$K(x)(t) = \mathrm{e}^{tA}x_{+} + \int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{(t-r)A}P(t-r)g(x(r))\mathrm{d}r$$

定理 4 (稳定流形定理). 设 $ f \in C^{k} $ ， $ k \geqslant 1 $ ， $ x_{0} $ 为不动点， $ A $ 为 $ x_{0} $ 处的 Jacobi 矩阵。若 $ \lambda > 0 $ 使 $ A+\lambda\mathrm{I} $ 双曲，则存在领域 $ U(x_{0}) = x_{0} + U $ 和函数 $ h^{+,\lambda} \in C^{k}(E^{+,\lambda} \cap U, E^{-,\lambda}) $ 使得
$$M^{+,\lambda}(x_{0}) \cap U(x_{0}) = \{x_{0} + a + h^{+,\lambda}(a) \mid a \in E^{+,\lambda} \cap U\}$$且 $ M^{+,\lambda}(x_{0}) $ 与 $ E^{+,\lambda}(x_{0}) $ 在 $ x_{0} $ 处相切，即
$$h^{+,\lambda}(x_{0}) = 0, \quad Dh^{+,\lambda}(x_{0}) = 0$$另外还有
$$\begin{aligned}
&M^{+,\lambda_{2}}(x_{0}) \subset M^{+,\lambda_{1}}(x_{0}), \text{若} \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}\\
&M^{+,\lambda_{2}}(x_{0}) = M^{+,\lambda_{1}}(x_{0}), \text{若} E^{+,\lambda_{2}} = E^{+,\lambda_{1}}
\endj{aligned}$$

双曲性：一个不动点是双曲的，意味着在它附近，任一方向要么是明确地收缩（稳定），要么是明确地扩张，不存在任何中性或徘徊的方向（中心方向）。

若从 $ x $ 出发的轨迹永远留在双曲不动点的邻域中，即 $ \gamma_+(x) \subset U(x_{0}) $ ，则轨道收敛到 $ x_{0} $ 。事实上，若轨道不收敛到 $ x_{0} $ ，则初始的不稳定分量 $ x_{-} = Px $ 不为零，但这意味着轨道会发散，从而不会有 $ \gamma_+(x) \subset U(x_{0}) $ 。

下面我们证明，对于双曲不动点 $ x_{0} $ ，存在一个局部稳定流形 $ M^{+} $ ，这个流形是光滑的，与线性稳定子空间 $ E^{+} $ 相切，并且可以表示为函数 $ h^{+} $ 的图像。

2.2. 等价性定理

定理 5. 设 $ f \in C^{k} $ ， $ k \geqslant 1 $ ， $ x_{0} $ 为其双曲不动点，那么存在邻域 $ U(x_{0}) $ 使 $ \gamma_{\pm}(x) \subset U(x_{0}) $ 当且仅当 $ x \in M^{\pm}(x_{0}) \cap U(x_{0}) $ ，特别地， $ W^{\pm}(x_{0}) = M^{\pm}(x_{0}) $ 。

证明

证明. 充分性显然，只需说明必要性。在稳定流形定理中已经证明与 $ x_{0} $ 接近的解满足(4)，由解的唯一性得这个解就是(4)的指数收敛解。

这个定理建立了两种不同定义的等价性：

稳定集 $ W^{+}(x_{0}) $ ：这是最初的直观定义，它指的是所有在 $ t \to +\infty $ 时会趋于不动点 $ x_{0} $ 的点的集合，可以称之为拓扑定义。
稳定流形 $ M^{+}(x_{0}) $ ：这是我们通过积分方程和压缩映射构造出来的，具有良好几何性质（光滑、相切）的集合，可以称之为几何分析定义。

3. Hartman-Grobman 定理上一节的内容告诉了我们关于（不）稳定流形上的轨道的规律，本节我们证明一个更强的结果：双曲不动点附近的相图与其在这点的线性化系统是拓扑等价的。换句话说，我们可以通过连续的坐标变换，将非线性系统的相图变为其线性化系统的相图。

直接证明满足如下条件的$\varphi$比较困难：
$$
\varphi \circ \mathrm{e}^{tA} = \Phi_t \circ \varphi, \quad \forall t \in \mathbb{R}
$$

我们考虑将连续流转化为离散映射：先只看 $t=1$ 这个时刻，这样，连续的流 $\Phi_t(x)$ 变成了离散映射 $\Phi_1(x)$ ，同样，线性系统的流 $\mathrm{e}^{tA}x$ 变成了线性映射 $\mathrm{e}^A$。

然后通过流的群性质结合连续性或者通过唯一性定理说明 $t=1$ 时得到的 $\varphi$ 实际上对 $\forall t \in \mathbb{R}$ 均成立。

首先我们看一个引理：给定线性映射 $A$ 和非线性扰动 $g$，这样得到一个非线性映射 $f=A+g$，我们证明存在唯一的 $\varphi$ 使得
$$
\varphi \circ A = f \circ \varphi
$$

引理 6. 设 $ A $ 是可逆矩阵且在单位圆周上没有特征值。利用分解 $ \mathbb{R}^{n} = E^{-}_{A} \oplus E^{+}_{A} $ 将 $ A $ 分解成压缩和扩张两部分 $ A = A_{-} \oplus A_{+} $ ，其中 $ A_{\pm} = A|_{E_{\pm}A} $ 。选择范数 $ \alpha = \max\{\|A^{-1}\|, \|A_{+}\|\} < 1 $ （若 $ A $ 所有特征值都在单位圆周内，则 $ \|A^{-1}\| = 0 $ ）。则对任意有界函数 $ g $ 满足 $$|g(x) - g(y)| \leqslant \varepsilon |x - y|, \quad \varepsilon < \frac{1 - \alpha}{2}$$ 存在唯一连续函数 $ \varphi(x) = x + h(x) $ 使得 $$\varphi \circ A = f \circ \varphi$$ 其中 $ h $ 有界， $ f = A + g $ 。若 $ f $ 可逆（即 $ \varepsilon\|A^{-1}\| < 1 $ ），则 $ \varphi $ 是同胚；若 $ g(0) = 0 $ ，则 $ \varphi(0) = 0 $ 。

推论 7. 设 $ A $ 可逆且在单位圆周上没有特征值， $ f \in C^{k} $ 。若存在同胚 $ \varphi(x) = x + h(x) $ ，其中 $ h $ 有界，使得 $$\varphi \circ A = f \circ \varphi$$ 则 $ \varphi $ 是唯一的。

证明

证明. 设存在 $ \varphi_{1}, \varphi_{2} $ 使
$$\varphi_{1} \circ A = f \circ \varphi_{1}, \quad i = 1,2$$
令 $ M = \{\varphi \in K \mid \varphi(x) = x + h(x)\} $ ，容易证明 $ M $ 对乘法（映射的复合）与取逆封闭，即 $ M $ 对复合作成一个群。由(2)式得
$$f = \varphi_{1} \circ A \circ \varphi_{1}^{-1} = \varphi_{2} \circ A \circ \varphi_{2}^{-1} \Rightarrow \varphi_{2}^{-1} \circ \varphi_{1} \circ A = A \circ \varphi_{1}^{-1} \circ \varphi_{1}$$
由引理1得 $ \varphi_{1}^{-1} \circ \varphi_{1} = \mathrm{I} $ ，此时 $ g = 0 $ 。

定理 8 (Hartman-Grobman). 设 $ f $ 为可微向量场， $ 0 $ 为某双曲不动点。记 $ \theta(t,x) $ 为 $ f $ 的流， $ A $ 为 $ f $ 在 $ 0 $ 处的 Jacobi 矩阵。那么存在同胚 $ \varphi(x) = x + h(x) $ ， $ h $ 有界使得在 $ 0 $ 处的小邻域内
$$\varphi \circ \mathrm{e}^{tA} = \Phi_{t} \circ \varphi$$