Lyapunov 稳定性理论｜阿贝尔的数学之旅

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1. Lyapunov 稳定性理论
2. LaSalle 不变性原理

本文考虑自治系统
$$ \dot{x}=f(x),x\in\mathbb{R}^{n}$$其中 $x_0$ 为 $f$ 的不动点, $f:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ 是局部 Lipschitz 连续函数, $D\subset\mathbb{R}^{n}$ 是包含原点的定义域.

1. Lyapunov 稳定性理论

定义 1 (稳定). 称不动点 $x_{0}$ 稳定, 若对任意邻域 $U(x_{0})$ 存在另一个邻域 $V(x_{0})\subset U(x_{0})$ 使
$$ \Phi(t,x)\subset U(x_{0}), \forall x\in V(x_{0}), \forall t\geqslant 0 $$即从 $V(x_{0})$ 出发的点始终留在 $U(x_{0})$ 中.

定义 2 (渐近稳定/吸引). 称不动点 $x_{0}$ 渐近稳定, 若 $x_{0}$ 稳定且存在邻域 $U(x_{0})$ 使
$$ \lim_{t\rightarrow+\infty}|\Phi(t,x)-x_{0}|=0, \forall x\in U(x_{0}). $$

定理 3 (稳定). 若存在函数 $V:D\rightarrow\mathbb{R}$ 满足

正定性: $V(0)=0$ 且 $V(x)>0, \forall x\in D\setminus\{0\}$
半负定性: $\dot{V}(x)=\nabla V\cdot f\leqslant 0, \forall x\in D$

则平衡点 $x=0$ 稳定.
则平衡点 $x=0$ 稳定.

证明

证明. 任取 $\varepsilon>0$, 记 $B_{\varepsilon}=\{x\in\mathbb{R}\mid \|x\|\leqslant\varepsilon\}$, 再记 $V(x)$ 在 $\partial B_{\varepsilon}$ 上的最小值为 $\alpha$, $V$ 正定, 所以 $\alpha>0$. 因为 $V(0)=0$, 由连续性得存在 $\delta>0$, 当 $\|x_{0}\|<\delta$ 时, $V(x)<\alpha$. 取 $x_{0}\in B_{\delta}$, 断言 $\Phi(t,x_{0})\subset B_{\varepsilon}$. 若不成立, 则存在 $t_{1}>0$ 使 $\|\Phi(t_{1},x_{0})\|>\varepsilon$. 因 $\|\Phi(0,x_{0})\|<\varepsilon$, 故由正值性得存在 $t_{2}\in(0,t)$ 使 $\|\Phi(t_{2},x_{0})\|=\varepsilon$, 但 $V(x(t_{2}))<\alpha$, 矛盾.

定理 4 (渐近稳定, Lyapunov 1892). 若存在函数 $V:D\rightarrow\mathbb{R}$ 满足

正定性: $V(0)=0$ 且 $V(x)>0, \forall x\in D\setminus\{0\}$
负定性: $\dot{V}(x)=\nabla V\cdot f<0, \forall x\in D\setminus\{0\}$

则平衡点 $x=0$ 是渐近稳定的.

证明

证明. 反证法. 设 $\lim_{t\rightarrow+\infty}x(t)=a>0$, 记 $\lim_{k\rightarrow\infty}x(t_{k})=a$, $t_{k}\rightarrow+\infty$. 由 $V$ 的正定性得
$$ A=\lim_{t\rightarrow+\infty}V(x(t))=\lim_{k\rightarrow+\infty}V(x(t_{k}))=V(a)>0 $$(第一个等号是因为 $V(x(t))$ 单减有下界). 记
$$D_{0}=\{x\in D\mid A\leqslant V(x)\leqslant V(x(0))\}$$ $D_{0}$ 紧, 因为其有界闭. 设 $\dot{V}(x)$ 在 $D_{0}$ 上的最大值为 $b<0$, 则 $$ V(x(t))=V(x(0))+\int_{0}^{t}\dot{V}(x(s))\mathrm{d}s\leqslant V(x(0))+bt\rightarrow-\infty, t\rightarrow+\infty $$ 矛盾!

2. LaSalle 不变性原理

LaSalle 不变性原理是 Lyapunov 稳定性理论的补充, 它适合处理一些 Lyapunov 直接法（第二法）难以严格判断渐近稳定性的情况, 尤其当 $ \dot{V}$ 仅为半负定时: 即使 Lyapunov 函数 $ V$ 的导数 $ \dot{V}$ 沿系统轨迹只是半负定, 即 $ \dot{V} \leqslant 0$ 且在某些点为零, 也能证明系统轨迹收敛到某个特定的不变集内, 而非始终停滞在 $ \dot{V} = 0$ 的点上.

假设存在 $ V \in C^1(D, \mathbb{R})$ 满足:

$ V$ 正定: $ V(0)=0$ 且 $ V(x)>0$, $ \forall x \in D \setminus \{0\}$
$ \dot{V}$ 半负定: $ \dot{V}(x)=\nabla V \cdot f \leqslant 0$, $ \forall x \in D$ . 这意味着 $ V$ 沿系统轨迹是非增的.

推论 5. 若 $ \gamma_+(x_0)$ 为自治系统 $ \dot{x} = f(x)$, $ x(0)=x_0$ 的有界轨道, 那么 $ \omega(x_0) \subset M$ 即
$$ \lim_{t \to +\infty} \mathrm{dist}(\varphi_t(x_0), M) = 0$$

要检查集合 $ \Omega$ 是否为不变集, 只需要看向量场在 $ \Omega$ 上的行为（是否指向内部）, 也就是切触条件.

用 Lyapunov 函数能轻松地构造不变集. 断言
$$ \Omega = \{x \in D \mid V(x) \leqslant c\}$$为系统的不变集, "曲线" $ V(x)=c$ 的法向量为 $ \nabla V$, 那么 $$ \mathbf{n} \cdot f = \nabla V \cdot f \leqslant 0,\quad \forall x \in \Omega.$$

定理 6 (LaSalle 不变性原理, LaSalle 1960). 设 $ \Omega \subset D$ 为紧致的正不变集, $ V \in C^1(D, \mathbb{R})$ 在 $ \Omega$ 上满足 $ \dot{V}(x)=\nabla V \cdot f \leqslant 0$. 令
$$ E = \{x \in \Omega \mid \dot{V}(x)=0\}$$ $ M$ 是 $ E$ 中的最大正不变集, 则所有从 $ \Omega$ 出发的轨道都收敛到 $ M$, 即
$$ \omega(x_0) \subset M \quad \text{也就是} \quad \lim_{t \to +\infty} \mathrm{dist}(\varphi_t(x_0), M) = 0$$

注记 1. 注意, 从证明中可以看到我们不需要 $V$ 是正定的.

证明

证明. 任取 $ x_0 \in \Omega$, 只需证 $ \omega(x_0) \subset E$. 因 $ V$ 在紧集 $ \Omega$ 上连续, 故 $ V$ 在 $ \Omega$ 有下界, 又 $ V(\varphi_t(x_0))$ 单减, 故下面的极限存在
$$ a = \lim_{t \to +\infty} V(\varphi_t(x_0))$$任取 $ y \in \omega(x_0)$, 则 $ \exists t_n \to +\infty$ 使 $ y = \lim\limits_{n \to +\infty} \varphi_{t_n}(x_0)$, 我们有
$$ V(y) = \lim_{n \to +\infty} V(\varphi_{t_n}(x_0)) = a$$这说明 $ V(\omega(x_0)) \equiv a$. 因为 $ \omega(x_0)$ 为不变集, $ \forall t>0$ 有 $ \varphi_t(y),\omega(y) \in \omega(x_0)$, 故
$$ a = V(y) \geqslant V(\varphi_t(y))=\lim_{n \to +\infty} V(\varphi_{t+t_n}(x_0)) \downarrow a$$从而 $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} V(\varphi_t(y)) \equiv 0$, 故 $ \dot{V}(y) = 0$. 即 $ \omega(x_0) \subset E$.

下面举一个例子, 单摆系统稳定性分析.

例子 1. 单摆的牛顿力学模型为：
$$ \ddot{\theta}+\frac{k}{m}\dot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0 $$其中 $ m $ 为小球的质量, $ l $ 为绳子长度, $ k $ 为摩擦系数. 令 $ x_{1}=\theta $ , $ x_{2}=\dot{x}_{1} $ , 则
$$
\begin{cases}
\dot{x}_{1}=x_{2} \\
\dot{x}_{2}=-\frac{g}{l}\sin x_{1}-\frac{k}{m}x_{2}
\end{cases}
$$当 $ k=0 $ 时, 系统为无阻碍的理想单摆系统. 试证明 $ k>0 $ 时 $ (x_{1},x_{2})=(0,0) $ 的渐近稳定性.

证明

证明. 状态空间一般取为 Lyapunov 函数的某个水平集, 在这里取为 $ X= \left\{x \in \mathbb{R}^2: V(x) \leqslant 0.5\right\} $ .

局部方法. 在 $ X $ 中不动点只有 $ (0,0) $ .

将状态方程在 $ (0,0) $ 处线性化得
$$
\begin{bmatrix}
\dot{x}_{1} \\
\dot{x}_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
-g/l & -k/m
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix}
$$

矩阵特征值为
$$
\lambda=\frac{1}{2}\left(-\frac{k}{m}\pm\sqrt{\frac{k^{2}}{m^{2}}-\frac{4g}{l}}\right)=:\frac{1}{2}\left(-\frac{k}{m}\pm\sqrt{\Delta}\right)
$$

只要 $ k > 0 $ , 系统在 $ (0,0) $ 处就是双曲的, 且 $ \Delta\geqslant0 $ 时不动点为稳定结点, $ \Delta < 0 $ 时为稳定焦点. 不论参数如何, $ (0,0) $ 点总是稳定的（Hartman-Grobman定理）.
全局方法. 取Lyapunov函数
$$
V(x_{1},x_{2})=\frac{1}{2}mv^{2}+mg l(1-\cos x)=\frac{1}{2}ml^{2}x_{2}^{2}+mgl(1-\cos x_{1})
$$
显然 $ V $ 正定. 计算Lie导数
$$
\dot{V}(x_{1},x_{2})=-kl^{2}x_{1}x_{2}.
$$

当 $ k>0 $ 时, $ \dot{V} $ 半负定. 考察集合
$$
E=\{\dot{V}=0\}=\{x_{2}=0\}
$$
向量场 $ f $ 在 $ E $ 上除了 $ (0,0) $ 外, 其余都非零且方向与 $ x $ 平行, 这说明 $ M=\{(0,0)\} $ , 因此 $ \omega(x_{0})=M $ , 即原点是全局渐近稳定的.