一些ODE模型｜阿贝尔的数学之旅

1. Rosenzweig-MacArthur 捕食模型

考虑如下非量纲化后的 Rosenzweig-MacArthur 捕食模型：
\begin{equation}\label{Simple Rosenzweig-MacArthur}
\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{m x y}{1+x}, \\
y^{\prime}=-\theta y+\frac{m x y}{1+x},
\end{array}\right.
\end{equation}

我们只考虑 $ x \geqslant 0 $ , $ y \geqslant 0 $ . 平衡解有 $(0,0)$, $(K,0)$, $(\lambda, V_{\lambda})$, 其中
$$
\lambda=\frac{\theta}{m-\theta}, \quad V_{\lambda}=\frac{(K-\lambda)(1+\lambda)}{K m},
$$

那么共存解 $ (\lambda, V_{\lambda}) $ 在第一象限的条件是 $ 0 \leqslant \lambda \leqslant K $ . 当 $ \lambda \geqslant K $ 时, $(K,0)$是全局稳定的, 即对任何 $ (x_{0},y_{0})\in \mathbb{R}_{+}^{2} $ , $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}(x(t),y(t))=(K,0) $ . 对于 $ 0< \lambda< K $ , 容易算出 $$ J(\lambda, V_{\lambda})=\left(\begin{array}{cc} \frac{\lambda(K-1-2 \lambda)}{K(1+\lambda)} & -\theta \\ \frac{K-\lambda}{K(1+\lambda)} & 0 \end{array}\right). $$

命题 1. 若 $ 0< \lambda < K $ , $ \operatorname{Det}(J)=\frac{\theta(K-\lambda)}{K(1+\lambda)} > 0 $ , 而 $ \operatorname{Tr}(J)=\frac{\lambda(K-1-2\lambda)}{K(1+\lambda)} $ , 因此 $ (\lambda, V_{\lambda}) $ 在 $ 0< \lambda< \frac{K-1}{2} $ 时是不稳定的, 在 $ \frac{K-1}{2}< \lambda< K $ 时是稳定的.

定理 2. 系统 \eqref{Simple Rosenzweig-MacArthur} 是耗散的, 或者说是最终有界的. 因为 $ \{(x, y):x>0,y>0\} $ 是不变的, 所以 \eqref{Simple Rosenzweig-MacArthur} 满足 $ x(0)>0 $ , $ y(0)>0 $ 的解都是正的. 若 $ x(0)>K $ , 那么当 $ x>K $ 时, $ x^{\prime}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\frac{m x y}{1+x}<0 $ ; 而 $ x=K $ 时, $ x^{\prime}=-\frac{m K y}{1+K}<0 $ . 又因为区域 $ \{(x, y):x>K,y\geqslant0\} $ 内没有平衡点, 所以当 $ t\geqslant0 $ 时, \eqref{Simple Rosenzweig-MacArthur} 的所有正解都满足 $ x(t)\leqslant\max\{x(0), K\} $ . 将 \eqref{Simple Rosenzweig-MacArthur} 的两个方程相加得 $ (x+y)^{\prime}=x\left(1-\frac{x}{K}\right)-\theta y $ , 令
$$
\eta=\max _{x \geqslant0}\left(x\left(1-\frac{x}{K}\right)+\theta x\right),
$$
则 $ (x+y)^{\prime}\leqslant\eta-\theta(x+y) $ . 因此由Gronwall不等式可得
$$
x(t)+y(t)\leqslant(x(0)+y(0)) \mathrm{e}^{-\theta t}+\frac{\eta}{\theta}\left(1-\mathrm{e}^{-\theta t}\right),
$$
因此 $ y(t) $ 也是有界的.

引理 3. 我们用Dulac准则证明当 $ \frac{K-1}{2}< \lambda < K $ 时, \eqref{Simple Rosenzweig-MacArthur} 在第一象限没有周期轨道(Hsu et al., 1978). 令 $ h(x,y)=\left(\frac{mx}{1+x}\right)^{\alpha}y^{\beta} $ , 其中 $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $ 待定.

$$ D = \{x \geqslant 0, y \geqslant 0\} $$ 我们想证明(*)在 $ D $ 上没有周期解, $ \frac{k-1}{2} < \lambda < k $. 采用Dulac法则, 令 $ h(x,y) = \left(\frac{mx}{1+x}\right)^{\alpha}y^{\beta} $, 其中 $ \alpha, \beta $ 待定, 则 $$ \frac{\mathrm{div}(F \cdot h)}{h} = \frac{\alpha}{1+x}\left(1-\frac{x}{k}\right) + \left(1-\frac{2x}{k}\right) - (\alpha+1)\frac{m}{(1+x)^{2}}y + (\beta+1)\left(\frac{mx}{1+x}-d\right). $$ 令 $ \alpha = -1 $, 则 $$ \frac{\mathrm{div}(F \cdot h)}{h} \cdot (1+x) = \frac{x}{k}(k-1-2x) + (\beta+1)[mx-d(x+1)] =: G(x). $$ 计算 $$ G(\lambda) = \frac{\lambda}{k}(-2\lambda + k - 1) < 0. $$ 令 $ G'(\lambda) = 0 $ 能保证 $ G $ 在 $ [0,+\infty) $ 上几乎处处大于0: $$ G'(1) = \frac{k-1-4\lambda}{k} + (\beta+1)(m-d) = 0. $$ $$ \Rightarrow \beta = \frac{k-1-4\lambda}{k(m-d)} - 1. $$ 这样便保证了 $ \mathrm{div}(F \cdot h) < 0 $ a.e.

引理 4. 设 $ f(u) $ 关于 $ u $ 单减, $ \lim\limits_{t \to +\infty} \alpha(t) = A > 0 $, 自治方程
$$
\frac{d\tilde{x}}{dt} = f(\tilde{x}), \quad \tilde{x} \geqslant 0
\tag{1}
$$
有全局吸引子 $ x^{*} > 0 $, 则 $ \frac{x^{*}}{A} $ 为如下非自治方程的全局吸引子
$$
\frac{dx}{dt}(t) = f(\alpha(t)x(t)).
\tag{2}
$$

证明

证明. 设(1), (2)取相同初值 $ x_{0} $.

任取 $ \varepsilon > 0 $, 存在 $ T > 0 $ 使 $ A - \varepsilon \leqslant \alpha(t) \leqslant A + \varepsilon $, $ \forall t \geqslant T $, 这样有
$$
f((A+\varepsilon)x(t)) \leqslant \dot{x}(t) = f(\alpha(t)x(t)) \leqslant f((A-\varepsilon)x(t)).
$$

考虑 IVP
$$
\dot{x_{1}} = f((A-\varepsilon)x_{1}), \quad x_{1}(T) = x(T),
\tag{3}
$$
$$
\dot{x_{2}} = f((A+\varepsilon)x_{2}), \quad x_{2}(T) = x(T).
\tag{4}
$$

易知 $ x_{1}(t) \to \frac{x^{*}}{A-\varepsilon} $, $ x_{2}(t) \to \frac{x^{*}}{A+\varepsilon} $, $ t \to +\infty $. 由比较原理得
$$
x_{2}(t) \leqslant x(t) \leqslant x_{1}(t), \quad \forall t \geqslant T.
$$

那么
$$
\frac{x^{*}}{A+\varepsilon} \leqslant \liminf\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t) \leqslant \limsup\limits_{t\rightarrow+\infty}x(t) \leqslant \frac{x^{*}}{A-\varepsilon}.
$$

由 $ \varepsilon $ 的任意性即得结论.