目录
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1. 排除闭合轨道的存在性
2. 证明闭合轨道的存在性
3. Dulac 定理
- 指标理论: $\mathbb{R}^{2}$ 中的闭合轨道必须包含固定点, 这些固定点的指数之和为 $1$.
- Dulac 定理: 设 $\dot{x}=f(x)$, $x\in \mathbb{R}^{2}$, $R$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的一个单连通区域. 如果存在光滑函数 $g$ 使得 $\nabla\cdot(gf)$ 在 $R$ 中具有单一符号, 那么在 $R$ 中不存在闭合轨道.
定理 1 (Poincaré-Bendixson 定理). 设 $\dot{x}=f(x)$, $x\in \mathbb{R}^{2}$, $R$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 中的一个有界闭区域, 且在 $R$ 中没有固定点. 如果存在一个被捕获的轨迹 $T$, 即 $T = (x(t), y(t))$ 在 $t = t_{0}$ 时位于 $R$ 中, 并且对所有 $t > t_{0}$ 都保持在 $R$ 中. 那么:
- $T$ 要么是一个闭合轨道, 要么
- 当 $t \to +\infty$ 时, $T$ 螺旋趋近于一个闭合轨道.
注记 1. 找到一个环形区域, 使得向量场在其边界上指向环形区域内部.
定理 2 (Dulac 定理). 设平面自治系统
$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x, y), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=g(x, y)
$$定义在单连通区域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 上, 其中 $f, g \in C^{1}(D)$. 若存在 $C^{1}$ 函数 $\varphi(x, y)$ （称为Dulac函数）, 使得表达式
$$
\frac{\partial(\varphi f)}{\partial x}+\frac{\partial(\varphi g)}{\partial y}
$$在 $D$ 内几乎处处保持同号（且不为零）, 则该系统在 $D$ 内不存在完全位于 $D$ 中的非常数周期解.
$$
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x, y), \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=g(x, y)
$$定义在单连通区域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 上, 其中 $f, g \in C^{1}(D)$. 若存在 $C^{1}$ 函数 $\varphi(x, y)$ （称为Dulac函数）, 使得表达式
$$
\frac{\partial(\varphi f)}{\partial x}+\frac{\partial(\varphi g)}{\partial y}
$$在 $D$ 内几乎处处保持同号（且不为零）, 则该系统在 $D$ 内不存在完全位于 $D$ 中的非常数周期解.
证明
证明. 假设 $C$ 是单连通区域 $R$ 内的闭轨线（周期解）, 其内部区域为 $D$. 对Dulac函数 $\varphi(x,y)$ 与系统函数 $f,g$ 构成的散度项在 $D$ 上积分: $$
\iint_D \left( \frac{\partial(\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial(\varphi g)}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$ 根据格林定理, 该积分等于沿闭曲线 $C$ 的极积分:
$$
\oint_C \left( -\varphi \dot{y} \mathrm{d}x + \varphi \dot{x} \mathrm{d}y \right)
$$由系统定义 $\dot{x}=f(x,y),\ \dot{y}=g(x,y)$, 且沿闭轨线 $C$ 有 $\mathrm{d}x = \dot{x}\mathrm{d}t,\ \mathrm{d}y = \dot{y}\mathrm{d}t$, 代入得:
$$
\oint_C \varphi \left( -\dot{y}\dot{x} + \dot{x}\dot{y} \right) \mathrm{d}t = \oint_C 0 \cdot \mathrm{d}t = 0
$$由条件 $\frac{\partial(\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial(\varphi g)}{\partial y} > 0$, 左端二重积分应为正数, 但右端线积分结果为 $0$, 矛盾.
\iint_D \left( \frac{\partial(\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial(\varphi g)}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
$$ 根据格林定理, 该积分等于沿闭曲线 $C$ 的极积分:
$$
\oint_C \left( -\varphi \dot{y} \mathrm{d}x + \varphi \dot{x} \mathrm{d}y \right)
$$由系统定义 $\dot{x}=f(x,y),\ \dot{y}=g(x,y)$, 且沿闭轨线 $C$ 有 $\mathrm{d}x = \dot{x}\mathrm{d}t,\ \mathrm{d}y = \dot{y}\mathrm{d}t$, 代入得:
$$
\oint_C \varphi \left( -\dot{y}\dot{x} + \dot{x}\dot{y} \right) \mathrm{d}t = \oint_C 0 \cdot \mathrm{d}t = 0
$$由条件 $\frac{\partial(\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial(\varphi g)}{\partial y} > 0$, 左端二重积分应为正数, 但右端线积分结果为 $0$, 矛盾.
例子 1. 证明系统
$$
\dot{x}=x(2-x-y), \quad \dot{y}=y(4x-x^{2}-3)
$$
在区域 $R=\{x>0,y>0\}$ 内没有闭合轨道.
$$
\dot{x}=x(2-x-y), \quad \dot{y}=y(4x-x^{2}-3)
$$
在区域 $R=\{x>0,y>0\}$ 内没有闭合轨道.
证明
证明. 选取 Dulac 函数 $g=\frac{1}{xy}$,
$$
\nabla\cdot(gF)=\frac{\partial}{\partial x}\frac{2-x-y}{y}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{4x-x^{2}-3}{x}=-\frac{1}{y}<0 $$ 证毕. $\square$
$$
\nabla\cdot(gF)=\frac{\partial}{\partial x}\frac{2-x-y}{y}+\frac{\partial}{\partial y}\frac{4x-x^{2}-3}{x}=-\frac{1}{y}<0 $$ 证毕. $\square$
例子 2. 证明系统
$$
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x-y+x^{2}+y^{2}
$$
在 $\mathbb{R}^{2}$ 内没有闭合轨道.
$$
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-x-y+x^{2}+y^{2}
$$
在 $\mathbb{R}^{2}$ 内没有闭合轨道.
证明
证明. 选取 Dulac 函数 $g=\mathrm{e}^{-2x}$,
$$
\nabla\cdot(gF)=\frac{\partial}{\partial x}(y\mathrm{e}^{-2x})+\frac{\partial}{\partial y}[\mathrm{e}^{-2x}(-x-y+x^{2}+y^{2})]=-\mathrm{e}^{-2x}<0 $$ 证毕. $\square$
$$
\nabla\cdot(gF)=\frac{\partial}{\partial x}(y\mathrm{e}^{-2x})+\frac{\partial}{\partial y}[\mathrm{e}^{-2x}(-x-y+x^{2}+y^{2})]=-\mathrm{e}^{-2x}<0 $$ 证毕. $\square$
注记 2. Dulac 准则的问题: 难以找到合适的 $g$ 函数.
我们可以尝试:
$$
g=1,\ \frac{1}{xy},\ \frac{1}{x^{a}y^{b}},\ \mathrm{e}^{kx},\ \mathrm{e}^{ky},\ \cdots
$$
我们可以尝试:
$$
g=1,\ \frac{1}{xy},\ \frac{1}{x^{a}y^{b}},\ \mathrm{e}^{kx},\ \mathrm{e}^{ky},\ \cdots
$$