拉普拉斯方程

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 1.  总结
 2.  调和函数
 3.  调和函数的均值性质

1. 总结 在本章中，我们遇到了调和函数（即拉普拉斯方程
$$
\Delta u=0 \text { 于 } \Omega
$$
的解）以及泊松方程
$$
\Delta u=f \quad \text { 于 } \Omega
$$
（其中 $f$ 给定）解的一些基本性质。

我们找到了球上狄利克雷问题的唯一解（定理 1.1.2），并且看到解是光滑的（推论 1.1.2），甚至满足显式估计（推论 1.2.7），特别是最大值原理（推论 1.2.3，推论 1.2.4），该原理实际上对次调和函数（引理 1.2.1）已经成立。所有这些结果对于椭圆型偏微分方程（PDE）的解来说是典型且具有代表性的。然而，本章所呈现的方法大多不能直接推广，因为它们大量使用了拉普拉斯算子的旋转对称性。因此，在后续章节中，我们需要发展不同且更一般的方法，以便为更广泛的椭圆型偏微分方程类别证明这些结果的类似形式。

2. 调和函数

在本节中，$\Omega$ 是 $\mbr^d$ 中的一个有界区域，散度定理对其成立；这意味着对于任何 $C^1(\Omega)\cap C^0(\bar{\Omega})$ 类的向量场 $V$，有 $$ \int_\Omega \mr{div} V(x)\md x=\int_{\pp \Omega} V(x)\cdot n\, \md S.$$

在后续内容中，我们将采用以下记号：

1. 闭球：$B(x,r):=\set{y\in\mbr^d}{|x-y|\les r}$
2. 开球：$\overset{\circ}{B}(x,r):=\set{y\in\mbr^d}{|x-y|< r}$

其中 $r > o, x\in\mbr^d$。

这个拉普拉斯方程在 $\mathbb{R^d} \backslash\{y\}$ 中的特殊解 $\Gamma$ 的原因是什么？答案在于拉普拉斯算子的旋转对称性。方程 $$\Delta u=0$$ 在关于任意中心 $y$ 的旋转下是不变的。如果 $A\in O(d)$（正交群）且 $y\in\mbr^d$，那么对于调和的 $u(x)$，$u(A(x-y)+y)$ 同样是调和的。由于算子的这种不变性，人们也会寻找不变解，即形式为 $$u(x)=\vp(r)\ \ \text{其中}\ \ r=|x-y|$$ 的解。拉普拉斯方程于是转化为关于 $y$ 作为 $r$ 的函数的以下方程，其中 $'$ 表示关于 $r$ 的导数： $$\vp''(r)+\frac{d-1}{r}\vp'(r)=0.$$ 解必须满足$$\vp'(r)=cr^{1-d}$$其中 $c$ 为常数。固定这个常数再加上一个进一步的加法常数，就得到了基本解 $\Gamma(r)$。

我们可以从格林表示公式得出以下结论：如果知道 $\Delta u$，那么 $u$ 完全由其在 $\pp\Omega$ 上的值及其法向导数值决定。特别地，$\Omega$ 上的调和函数可以从其边界数据重构。然后人们可能会反过来问，是否可以为函数及其法向导数在 $\pp\Omega$ 上任意给定的值构造一个调和函数。即使忽略可能需要对这类数据施加某些正则性条件（如连续性）的问题，我们也会发现这通常是不可能的，但基本上只能规定这两个数据中的一个。无论如何，对于 $V=\nabla u$ 的散度定理意味着调和的 $u$ 必须满足 $$ \int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \md S=\int_{\Omega} \Delta u(x) \md x=0, $$ 因此法向导数不能完全任意地规定。

我们现在假设格林函数 $G(x,y)$ 存在（这对于这里考虑的所有 $\Omega$ 确实成立），并在 \eqref{Green2} 中令 $v(x)=h(x,y)$，然后将结果加到格林表示公式 定理 5 中，得到 \begin{equation}\label{u_with_Green_function}
u(y)=\int_{\partial \Omega} u(x) \frac{\partial G(x, y)}{\partial n_x} \md S+\int_{\Omega} G(x, y) \Delta u(x) \md x
\end{equation} 上述方程特别意味着调和的 $u$ 已经由其边界值 $u_{\mid \partial \Omega}$ 决定。这个构造现在引出了相反的问题：如果我们给定函数 $\varphi: \partial \Omega \rightarrow \mathbb{R}, f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$，我们能否通过表示公式 \begin{equation}\label{representation_formula_of_Poisson_equation} u(y)=\int_{\partial \Omega} \varphi(x) \frac{\partial G(x, y)}{\partial n_x} \md S+\int_{\Omega} f(x) G(x, y) \md x ? \end{equation} 得到泊松方程的狄利克雷问题 \begin{equation}\begin{aligned} \Delta u(x)&=f(x) \text { 对于 } x \in \Omega \\ u(x)&=\varphi(x) \text { 对于 } x \in \partial \Omega \end{aligned} \label{Poisson Equation} \end{equation} 的解？毕竟，如果 $u$ 是一个解，根据 \eqref{Poisson Equation}，它确实满足这个公式。

本质上，答案是肯定的；然而，要使其真正有效，我们需要对 $\vp$ 和 $f$ 施加一些条件。一个自然的条件应该是要求它们是连续的。

对于 $\vp$，只要 $\Omega$ 的边界满足一些温和的正则性要求，这个条件就被证明是充分的。如果 $\Omega$ 是一个球，我们将在 定理 7 中对 $f=0$ 的情况验证这一点。

对于 $f$，情况稍微更微妙一些。 事实证明，即使 $f$ 是连续的，由 \eqref{representation_formula_of_Poisson_equation} 定义的函数 $u$ 也可能不是二次可微的，因此在赋予方程 $\Delta u=f$ 意义时必须格外小心。

我们将在下面的 10.1 和 11.1 节中回到这个问题。特别地，我们将证明，如果我们对 $f$ 要求再多一点，即要求它是赫尔德连续的，那么由 \eqref{representation_formula_of_Poisson_equation} 给出的函数 $u$ 是二次连续可微的并且满足 $\Delta u=f$。

类似地，如果 $H(x,y)$（对于 $x, y \in \bar{\Omega}, x \neq y$）定义为
$$
\frac{\partial}{\partial \nu_x} H(x, y)=\frac{-1}{\|\partial \Omega\|} \quad \text { 对于 } x \in \partial \Omega
$$
并且如前所述具有调和差 $H(x,y)-\Gamma(x,y)$，我们得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
u(y)=&\frac{1}{\|\partial \Omega\|} \int_{\partial \Omega} u(x) \md S-\int_{\partial \Omega} H(x, y) & \frac{\partial u}{\partial \nu}(x) \md S \\
& +\int_{\Omega} H(x, y) \Delta u(x) \md x
\end{aligned}\label{Poisson_rep_for_neumann}
\end{equation}
如果现在 $u_1$ 和 $u_2$ 是两个调和函数，且满足
$$
\frac{\partial u_1}{\partial \nu}=\frac{\partial u_2}{\partial \nu} \text { 于 } \partial \Omega
$$
将 \eqref{Poisson_rep_for_neumann} 应用于差 $u=u_1-u_2$ 得到
$$
u_1(y)-u_2(y)=\frac{1}{\|\partial \Omega\|} \int_{\partial \Omega}\left(u_1(x)-u_2(x)\right) \md S
$$
由于上述右边与 $y$ 无关，$u_1-u_2$ 在 $\Omega$ 中必须是常数。换句话说，诺伊曼边值问题
\begin{equation}
\begin{aligned}
\Delta u(x) & =0 & & \text { 对于 } x \in \Omega \\
\frac{\partial u}{\partial \nu} & =g(x) & & \text { 对于 } x \in \partial \Omega
\end{aligned}\label{Neumann_boundary_value_problem}
\end{equation}
的解仅确定到一个常数，并且反过来，由 $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial \nu} \md S=\int_{\Omega} \Delta u(x) \md x=0$，解存在的必要条件是
$$\int_{\pp\Omega} g(x)\md S=0.$$

边界条件往往使偏微分方程理论变得困难。 实际上，在许多情况下，诺伊曼条件比狄利克雷条件更自然且更容易处理，尽管我们在本书中主要研究狄利克雷边界条件，因为它们出现得更频繁。

事实上还有另一种更简单的边界条件，它实际上根本不是一个边界条件，即所谓的周期边界条件。 这意味着以下内容。我们考虑一个形式为 $\Omega=\left(0, L_1\right) \times \cdots \times\left(0, L_d\right) \subset \mathbb{R}^d$ 的区域，并要求对于 $u:\bar{\Omega}\to\mbr$ 有
$$
u\left(x_1, \ldots, x_{i-1}, L_i, x_{i+1, \ldots, x_d\right)=u\left(x_1, \ldots, x_{i-1}, 0, x_{i+1}, \ldots, x_d\right)
$$
对所有 $x=\left(x_1, \ldots, x_d\right) \in \Omega, i=1, \ldots, d$ 成立。这意味着 $u$ 可以从 $\Omega$ 周期性地延拓到整个 $\mbr^d$。熟悉基本几何概念的读者会将这样的 $u$ 视为通过识别 $\Omega$ 中对边而得到的环面上的函数。更一般地，人们可以考虑紧流形上的偏微分方程的解。

无论如何，我们现在转向球上的狄利克雷问题。作为准备，我们计算这样一个球 $B(0,R)$ 的格林函数 $G$。对于 $y\in\mbr^d$，我们设
$$
\bar{y}:= \begin{cases}\frac{R^2}{|y|^2} y & \text { 当 } y \neq 0 \\ \infty & \text { 当 } y=0\end{cases}
$$
$\bar{y}$ 是通过关于 $\partial B(0, R)$ 反射 $y$ 得到的点。然后我们设
\begin{equation}\label{Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball}
G(x, y):= \begin{cases}\Gamma(|x-y|)-\Gamma\left(\frac{|y|}{R}|x-\bar{y}|\right) & \text { 当 } y \neq 0 \\ \Gamma(|x|)-\Gamma(R) & \text { 当 } y=0\end{cases}
\end{equation}
对于 $x\ne y$，$G(x,y)$ 在 $x$ 上是调和的，因为对于 $y\in\overset{\circ}{B}(0,R)$，点 $\bar{y}$ 位于 $B(0,R)$ 的外部。函数 $G(x,y)$ 在 $B(0,R)$ 中只有一个奇点，即在 $x=y$ 处，并且这个奇点与 $\Gamma(x,y)$ 的奇点相同。公式
\begin{equation}\label{expanded_Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball}
G(x, y)=\Gamma\left(\left(|x|^2+|y|^2-2 x \cdot y\right)^{1 / 2}\right)-\Gamma\left(\left(\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}+R^2-2 x \cdot y\right)^{1 / 2}\right)
\end{equation}
表明对于 $x\in\pp B(0,R)$，即 $|x|=R$，我们确实有 $G(x,y)=0$。

因此，由 \eqref{Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball} 定义的 $G(x,y)$ 是 $B(0,R)$ 的格林函数。并且 \eqref{expanded_Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball} 也暗示了对称性
$$G(x,y)=G(y,x).$$
此外，由于 $\Gamma(|x-y|)$ 在 $|x-y|$ 上是单调的，我们从 \eqref{expanded_Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball} 得出结论：
$$
G(x, y) \les 0 \quad \text { 对于 } x, y \in B(0, R).
$$
由于对于 $x \in \partial B(0, R)$ 有
$$
|x|^2+|y|^2-2 x \cdot y=\frac{|x|^2|y|^2}{R^2}+R^2-2 x \cdot y,
$$
\eqref{expanded_Green_function_for_Dirichlet_problem_on_a_ball} 进一步意味着对于 $x \in \partial B(0, R)$ 有
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial \nu_x} G(x, y) & =\frac{\partial}{\partial|x|} G(x, y)=\frac{1}{d \omega_d} \frac{|x|}{|x-y|^d}-\frac{1}{d \omega_d} \frac{|x|}{|x-y|^d} \frac{|y|^2}{R^2} \\
& =\frac{R^2-|y|^2}{d \omega_d R} \frac{1}{|x-y|^d} .
\end{aligned}
$$
将这个结果代入 \eqref{u_with_Green_function}，我们得到了调和函数 $u\in C^2(B(0,R))$ 用其在 $\pp B(0,R)$ 上的边界值的表示公式：
$$
u(y)=\frac{R^2-|y|^2}{d \omega_d R} \int_{\partial B(0, R)} \frac{u(x)}{|x-y|^d} d o(x) .
$$
这里的正则性条件可以减弱；事实上，我们有以下定理：

3. 调和函数的均值性质

不要求 $u$ 连续，只要求 $u$ 在 $\Omega$ 中可测且局部可积就足够了。前面的定理及其证明仍然有效，因为在第二部分中我们没有使用 $u$ 的连续性。

有了这个观察，我们很容易得到以下推论

我们现在回到研究调和函数。如果 $u$ 是调和的，$u$ 和 $-u$ 都是次调和的，我们从 引理 14 得到以下结果

上述推论的一个较弱版本是

作为弱最大值原理的一个应用，我们将展示调和函数的孤立奇点的可去性：

从推论中我们看到，并非每个调和函数的狄利克雷问题都是可解的。例如，不存在
$$
\begin{aligned}
\Delta u(x) & =0 \quad \text { 于 } \overset{\circ}{B}(0,1)\backslash\{0\}\\
u(x) & =0 \quad \text { 对于 } \quad|x|=1 \\
u(0) & =1
\end{aligned}
$$
的解。即，根据推论，任何解 $u$ 都可以延拓到整个球 $\overset{\circ}{B}(0,1)$ 上的调和函数，但这样的调和函数根据 推论 17 必须恒为零，因为它在 $\pp B(0,1)$ 上的边界值为零，因此它不可能在 $x=0$ 处取规定值 $1$。

次调和函数最大值原理的另一个结果是泊松方程解的梯度估计：