目录
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1. ODE 模型
2. PDE 模型
2.1. 均质环境中的洛特卡-沃尔泰拉竞争-扩散系统
为了提供背景知识, 我们首先简要总结具有常系数(即均匀环境)的洛特卡-沃尔泰拉竞争-扩散系统.
\begin{equation}
\begin{cases}
\begin{array}{ll}
U_{t} = d_{1}\Delta U + U(a_{1} - b_{1}U - c_{1}V) & \text{在}\ \Omega\times(0,\infty),\\
V_{t} = d_{2}\Delta V + V(a_{2} - b_{2}U - c_{2}V) & \text{在}\ \Omega\times(0,\infty),\\
\partial_{v} U = 0 = \partial_{v} V & \text{在}\ \partial\Omega\times(0,\infty),
\end{array}
\end{cases}
\tag{4.10}
\end{equation}
其中 $ U$, $ V$ 再次表示两个竞争物种的种群密度, 常数 $ a_{1}$, $ a_{2}$ 反映了栖息地 $ \Omega$ 的承载能力, $ b_{1}$, $ c_{2}$ 是种内竞争系数, 而 $ b_{2}$, $ c_{1}$ 是种间竞争系数, 它们都是正数. 我们将只考虑非负解, 并且方便地记
$$
A = \frac{a_{1}}{a_{2}},\quad B = \frac{b_{1}}{b_{2}},\quad \quad C = \frac{c_{1}}{c_{2}}.
$$
对于(4.10), 弱竞争情况 $ B > A > C$ 的动力学特性特别简单且完全被理解: 在这种情况下(4.10)有一个共存(即正)稳态
$$
(U_{*}, V_{*}) = \left( \frac{a_{1}c_{2} - a_{2}c_{1}}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}},\ \frac{b_{1}a_{2} - b_{2}a_{1}}{b_{1}c_{2} - b_{2}c_{1}} \right)
\tag{4.11}
$$
该稳态是全局渐近稳定的, 即, 无论初始值 $ U(x,0)$, $ V(x,0)$ 如何(只要 $ U(x,0) \not\equiv 0$, 且 $ V(x,0) \not\equiv 0$), (4.10)的解总是随着 $ t \rightarrow \infty$ 收敛到 $ (U_{*}, V_{*})$, 对于任何扩散率 $ d_{1}$, $ d_{2}$ 都成立.
证明
令
$$
E[U,V](t) = \int_{\Omega} \left( b_{2} \left[ U - U_{*} - U_{*} \log \frac{U}{U_{*}} \right] + c_{1} \left[ V - V_{*} - V_{*} \log \frac{V}{V_{*}} \right] \right) \mathrm{d}x,$$
求导得
$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E[U,V](t) =& \int_{\Omega} \left[ b_2 \frac{U - U_*}{U} U_t + c_1 \frac{V - V_*}{V} V_t \right] \mathrm{d}x\\
=& \int_{\Omega} b_2 (U - U_*)\left(d_1 \frac{\Delta U}{U} + a_1 - b_1 U - c_1 V\right)\\
&+ c_1 (V - V_*)\left(d_2 \frac{\Delta V}{V}+ a_2 - b_2 U - c_2 V\right) \, \mathrm{d}x\\
=&I_1+I_2
\end{aligned}
$$
将导数分解为扩散项 $I_1$ 和反应项 $I_2$, 其中扩散项积分为:
$$
\begin{aligned}
I_1 =& \int_{\Omega} \left[ b_2 d_1 (U - U_*) \frac{\Delta U}{U} + c_1 d_2 (V - V_*) \frac{\Delta V}{V} \right] \mathrm{d}x\\
=& -\int_{\Omega} \left[ b_2 d_1 U \frac{|\nabla U|^2}{U^2} + c_1 d_2 V \frac{|\nabla V|^2}{V^2} \right] \mathrm{d}x
\end{aligned}
$$
反应项积分为:
$$
\begin{aligned}
I_2 &= \int_{\Omega} \left[ b_2 \hat{U}(-b_1 \hat{U} - c_1 \hat{V}) + c_1 \hat{V}(-b_2 \hat{U} - c_2 \hat{V}) \right] \mathrm{d}x\\
& = -\int_{\Omega} \left[ b_1 b_2 \hat{U}^2 + 2b_2c_1 \hat{U} \hat{V} + c_1 c_2 \hat{V}^2 \right] \mathrm{d}x\\
&\leqslant -\left(1 - \sqrt{\frac{c_1b_2}{c_2b_1}}\right) b_1b_2 \int_{\Omega} \hat{U}^2 \, \mathrm{d}x - \left(1 - \sqrt{\frac{c_1b_2}{c_2b_1}}\right) c_1 c_2 \int_{\Omega} \hat{V}^2 \, \mathrm{d}x
\end{aligned}
$$
其中 $ \widehat{U} = U - U_{*}$, $ \widehat{V} = V - V_{*}$, 且 $ M = \max\left\{ \|U(x,0)\|_{L^{\infty}},\ \|V(x,0)\|_{L^{\infty}} \right\}$. 由于 $ B > A > C$, 可得 $ b_{1}b_{2}c_{1}c_{2} > b_{2}^{2}c_{1}^{2}$, 于是我们得到
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} E[U,V](t) \leqslant -\delta \left( \|\widehat{U}\|_{H^{1}(\Omega)}^{2} + \|\widehat{V}\|_{H^{1}(\Omega)}^{2} \right),
\tag{4.12}
$$
其中
$$
\delta = \min\left\{ \left(1-\sqrt{\frac{c_1b_2}{c_2b_1}}\right)b_1b_2,\ \left(1-\sqrt{\frac{c_1b_2}{c_2b_1}}\right)c_1c_2,\ \frac{d_{1}b_{2}U_{*}}{M^{2}},\ \frac{d_{2}c_{1}V_{*}}{M^{2}} \right\}.
$$
从(4.12)不难看出, 当 $ t \rightarrow \infty$ 时, $ (U(\cdot, t), V(\cdot, t)) \rightarrow (U_{*}, V_{*})$, 因为 $ (U_{*}, V_{*})$ 是 $ E$ 的唯一全局极小点.
强竞争情形, 即 $ B < A < C$, 的情况要复杂得多. 首先, 由(4.11)给出的常数稳态 $ (U_{*}, V_{*})$ 仍然是(4.10)的一个共存稳态. 然而, 它现在是不稳定的, 即使在ODE意义下也是如此. 此外, (4.10)现在可以有许多非常数共存稳态, 参见, 例如, [GL]. 在 $ d_{1}$, $ d_{2}$ 都很大的情况下, 根据第二章定理2.12, (4.10)没有非常数稳态. 实际上, 只要扩散率 $ d_{1}$ 或 $ d_{2}$ 中有一个很大, 这种不存在性事实就成立. 这在[LN1, 推论3.2]中得到了证明. 然而, 当 $ d_{1}$, $ d_{2}$ 都不大时的情况还没有得到很好的理解. 例如, 即使(4.10)的周期解的存在性或不存在性也是一个未解决的问题.