阿贝尔的数学之旅ABEL'S MATHEMATICAL JOURNEY
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Abel 范畴

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 1.  笔记
 2.  加法范畴
   2.1.  余积
   2.2.  积
 3.  加法函子
 4.  Abel 范畴
 5.  态射范畴
 6.  Abel 范畴中的正合列和蛇引理
 7.  正合函子

1. 笔记

除了投射模和内射模，自由模、张量积、余积、积的等价定义中，映射都是唯一的.
余积 = 对象 + 结构态射 + 泛性质.
余积的结构态射是嵌入，积的结构态射是投影.
张量积、余积、积、核、余核的泛性质描述的都是一种达成相同目的的“最短路径”.
画好证明的交换图后, 尝试仅看交换图在脑子里证明.

2. 加法范畴 2.1. 余积

定义 1 (余积). 设 $\ca$ 为范畴.
  1. $\ca$ 中一簇对象 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的余积, 是 $\ca$ 中的对象 $X$, 连同态射 $e_i:X_i\to X(i\in I)$, 并满足如下泛性质：如果另有一簇态射 $f_i:X_i\to Y(i\in I)$, 则存在唯一态射 $f:X\to Y$ 使得 $fe_i=f_i(\ff i\in I)$. 此时我们将 $X$ 记为 $\bigoplus_{i\in I} X_i$, 记 $f$ 为 $(f_i)$, 并称 $e_i$ 是余积 $\bigoplus_{i\in I} X_i$ 的第 $i$ 个结构态射.
  2. 称 $\ca$ 有余积, 如果对任意一簇对象 $\{X_i\}_{i\in I}$, $\ca$ 中总有余积 $\bigoplus_{i\in I} X_i$.

命题 2. 若 $(P,\{\vp_i\})$ 和 $(Q,\{\psi_i\})$ 都是范畴 $\ca$ 中对象族 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的余积, 则 $P\cong Q$.
证明

证明.

命题 3. 设范畴 $\ca$ 有余积并且有零对象.
  1. 给定一簇对象 $\{X_i\}_{i\in I}$. 对任意 $j\in I$, 存在唯一态射 $p_j': \{X_i\}_{i\in I}\to X_j$ 满足 $$p_j'e_i=\delta_{ij}: X_i\to X_j,$$ 其中 $\delta_{ij}=\mr{Id}_{X_i}, x=j; \delta_{ij}=0, i\ne j$. 称 $p_j'$ 为余积 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的第 $j$ 个投影态射.
  2. 余积的每个结构态射 $e_i$ 均是单态射, 每个投影态射 $p_i'$ 均是满态射.
  3. 整体单射性：设有态射 $f :\{X_i\}_{i\in I}\to Y$ 和 $f' :\{X_i\}_{i\in I}\to Y$ 满足 $$fe_i=fe_i',\ \ff i\in I,$$ 则 $f=f'$.
  4. 给定态射集 $\{f_i:X_i\to Y_i\}_{i\in I}$, 则存在唯一态射 $$\bigoplus_{i\in I} f_i:\bigoplus_{i\in I} X_i\to \bigoplus_{i\in I} Y_i\ :\ \big(\bigoplus_{i\in I} f_i\big) e_i^X=e_i^Yf_i,\ \ff i\in I.$$
  5. 给定态射集 $\{f_i:X_i\to Y_i\}_{i\in I}$ 和 $\{g_i:Y_i\to Z_i\}_{i\in I}$, 则 $$ \Big(\bigoplus_{i\in I} g_i\Big)\Big(\bigoplus_{i\in I} f_i\Big)=\Big(\bigoplus_{i\in I} g_if_i\Big).$$
  6. $ \bigoplus_{i\in I} f_i:\bigoplus_{i\in I} X_i\to \bigoplus_{i\in I} Y_i$ 是满态射当仅当每个 $f_i$ 都是满态射.
证明

证明.
  1. 泛性质.
  2. 利用 $p_i'e_i=1_{X_i}.$
  3. 泛性质.
  4. 泛性质.
  5. 泛性质.
  6. 画好证明的交换图后, 尝试仅看交换图在脑子里证明. $\Rightarrow$.设 $g_if_i=h_if_i$, 两端同时左乘 $e_i^Z$ 再利用映射的交换性得 \begin{align*} (\oplus g_i)e_i^Yf_i&=(\oplus h_i)e_i^Yf_i\\ (\oplus g_i)(\oplus f_i)e_i^X&=(\oplus h_i)(\oplus f_i)e_i^X\\ (\oplus g_i)(\oplus f_i)& =(\oplus h_i)(\oplus f_i) \\ \oplus g_i& = \oplus h_i\\ (\oplus g_i)e_i^Y & =(\oplus h_i)e_i^Y \\ e_i^Zg_i& =e_i^Zh_i\ \Rightarrow\ g_i=h_i. \end{align*}

    $\Leftarrow$. 设 $g(\oplus f_i)=h(\oplus f_i)$, 两端同时右乘 $e_i^X$ 得 \begin{align*} g(\oplus f_i)e_i^X&=h(\oplus f_i)e_i^X\\ ge_i^Yf_i&=he_i^Yf_i\\ ge_i^Y &=he_i^Y \ \Rightarrow\ g=h. \end{align*}

2.2. 积 范畴 $\ca$ 中的积是模范畴中直积的类似物, 是余积的对偶.

定义 4 (积). 设 $\ca$ 为范畴.
  1. $\ca$ 中一簇对象 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的积是 $\ca$ 中对象 $X$, 连同态射 $p_i:X \to X_i (i\in I)$, 并满足如下泛性质：如果另有一簇态射 $g_i:Y\to X_i(i\in I)$ , 则存在唯一的态射 $g:Y\to X$ 使 $p_ig=g_i (\ff i\in I)$. 此时我们将 $X$ 记为 $\prod_{i\in I} X_i$, 称 $p_i$ 是积 $\prod_{i\in I} X_i$ 的第 $i$ 个结构态射.
  2. 称 $\ca$ 有积, 如果对任意一簇对象 $\{X_i\}_{i\in I}$ , $\ca$ 中总有积 $\prod_{i\in I} X_i$.

注记 1.
  1. $(X,p_i)$ 是 $\{X_i\}_{i\in I}$ 在范畴 $\ca$ 中的积当仅当 $(X,p_i)$ 是 $\{X_i\}_{i\in I}$ 在反范畴 $\ca^{\mr{op}}$ 中的余积.
  2. $(X,e_i)$ 是 $\{X_i\}_{i\in I}$ 在范畴 $\ca$ 中的余积当仅当 $(X,e_i)$ 是 $\{X_i\}_{i\in I}$ 在反范畴 $\ca^{\mr{op}}$ 中的积.
  3. 由积的泛性质得一簇对象的积如果存在, 则在同构意义下唯一.

例子 1.
  1. 环 $R$ 的模范畴 $\mr{R-Mod}$ 有积, 且积就是模的直积.
  2. 有限生成模范畴 $\mr{R-mod}$ 没有积 (有限的直积也就是直和, 当然是存在的).

命题 5. 设范畴 $\mathcal{A}$ 有积并且有零对象.
  1. 给定一簇对象 $X_i(\forall i \in I)$, 对于任意 $j \in I$, 存在唯一的态射 $e_j^{\prime}: X_j \longrightarrow$ $\prod_{i \in I} X_i$ 满足 $$ p_i e_j^{\prime}=\delta_{i j}: X_j \longrightarrow X_i, \text { 其中 } \delta_{i j}= \begin{cases}\operatorname{Id}_{X_i}, & i=j ; \\ 0, & i \neq j .\end{cases} $$ 称 $e_j^{\prime}: X_j \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i$ 为积 $\prod_{i \in I} X_i$ 的第 $j$ 个嵌入态射.
  2. 积的每个结构态射 $p_i$ 均是满态射; 积的每个嵌入态射 $e_i$ 均是单态射.
  3. 设有态射 $f: Y \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i$ 和态射 $f^{\prime}: Y \longrightarrow \prod_{i \in I} X_i$ 满足 $p_i f=p_i f^{\prime}, \forall i \in$ I. 则 $f=f^{\prime}$.
  4. 设 $I$ 是指标集， $f_i: X_i \longrightarrow Y_i(i \in I)$ 是 $\mathcal{A}$ 中态射。则存在唯一的态射 $\prod_{i \in I} f_i: \prod_{i \in I} X_i \longrightarrow \prod_{i \in I} Y_i$ 使得 $p_i^Y \prod_{i \in I} f_i=f_i p_i^X, \forall i \in I$, 其中 $p_i^X$ 是 $\prod_{i \in I} X_i$ 的结构态射, $p_i^Y$ 是 $\prod_{i \in I} Y_i$ 的结构态射.
  5. 设 $I$ 是指标集, $f_i: X_i \longrightarrow Y_i(i \in I)$ 和 $g_i: Y_i \longrightarrow Z_i(i \in I)$ 均是 $\mathcal{A}$ 中态射. 则 $\left(\prod_{i \in I} g_i\right)\left(\prod_{i \in I} f_i\right)=\prod_{i \in I} g_i f_i$.
  6. $\prod_{i \in I} f_i: \prod_{i \in I} X_i \longrightarrow \prod_{i \in I} Y_i$ 是单态射当且仅当每个 $f_i$ 是单态射.

命题 6 (余积是积的子模). 设范畴 $\mathcal{A}$ 有余积也有积并且有零对象. 则对于任意一簇对象 $X_i$ $(i \in I)$, 存在态射 $\sigma: \bigoplus_{\alpha \in I} X_\alpha \longrightarrow \prod_{\alpha \in I} X_\alpha$, 它是满足 $\sigma e_i=e_i^{\prime}(i \in I)$ 的唯一态射,也是满足 $p_i \sigma=p_i^{\prime}(i \in I)$ 的唯一态射, 其中 $e_i$ 是余积的结构态射, $p_i$ 是积的结构态射, $e_i^{\prime}$ 是积的嵌入态射, $p_i^{\prime}$ 是余积的投影态射.
证明

证明. 对于任意 $i \in I$, 考虑余积的结构态射 $e_i: X_i \longrightarrow \bigoplus_{\alpha \in I} X_\alpha$ 和积的嵌入态射 $e_i^{\prime}: X_i \longrightarrow \prod_{\alpha \in I} X_\alpha$, 由余积的泛性质得到唯一的态射 $\sigma: \bigoplus_{\alpha \in I}^{\alpha \in I} X_\alpha \longrightarrow \prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 满足 $\sigma e_i=e_i^{\prime}, \forall i \in I$. 又考虑积的结构态射 $p_i: \prod_{\alpha \in I} X_\alpha \longrightarrow X_i$ 和余积的投影态射 $p_i^{\prime}: \bigoplus_{\alpha \in I} X_\alpha \longrightarrow X_i$, 由积的泛性质得到唯一的态射 $\sigma^{\prime}: \bigoplus_{\alpha \in I} X_\alpha \longrightarrow \prod_{\alpha \in I} X_\alpha$ 满足 $p_i \sigma^{\prime}=p_i^{\prime}, \forall i \in I$. 图示如下

对每个 $i$ 和每个 $j$ $$ p_j \sigma e_i=p_j e_i^{\prime}=\delta_{i j}=p_j^{\prime} e_i=p_j \sigma^{\prime} e_i, \quad \forall i \in I, \forall j \in J $$ 因此, $\sigma e_i=\sigma^{\prime} e_i, \forall i \in I$. 再由嵌入态射的整体满射性 $\sigma=\sigma^{\prime}$.

定义 7 (加法范畴). 范畴 $\mathcal{A}$ 称为加法范畴, 如果 $\mathcal{A}$ 具有下述三条性质:
  1. $\mathcal{A}$ 有零对象;
  2. 对于任意对象 $X$ 和 $Y, \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X, Y)$ 具有 Abel 群的结构 (其运算记为 + ), 使得对于 $f \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X, Y), g, h \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Y, Z), f^{\prime} \in \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(Z, W)$ 有 $$ (g+h) f=g f+h f, \quad f^{\prime}(g+h)=f^{\prime} g+f^{\prime} h ; $$
  3. 对于任意对象 $X$ 和 $Y, \mathcal{A}$ 中存在余积 $X \oplus Y$.
注记 2.
  1. 只满足第二条性质的范畴称为预加法范畴
  2. 加法范畴中任意有限多个对象有余积, 但末必有余积 (也就是说, 无限多个对象未必有余积). 例如, 环的有限生成模范畴就是没有余积的加法范畴.
  3. 环的模范畴是加法范畴. 特别地, Abel 群的范畴 Ab 是加法范畴. 群范畴和环范畴 (按自然的方式) 均不是加法范畴.
  4. 加法范畴中的双积 (biproducts) 是积和余积一致的对象.
为什么群范畴和环范畴 (按自然的方式) 均不是加法范畴？
  1. 群范畴.
    1. 一般的群中, 群运算不一定交换, 无法定义同态的加法使得同态群具有 Abel 群的结构.
    2. 没有双积, 即没有统一的积与余积, 积是群的直积 $G\times H$, 余积是自由积 $G*H$.
  2. 环范畴.
    1. 没有零对象, 零环在环范畴中不是零对象.
    2. 同态集缺乏 Abel 群结构： $$\ff f,g\in\mr{Hom}(R,S),\ \ (f+g)(r):=f(r)+g(r)$$ 不一定是环同态, 它不一定保持乘法.
    3. 积和余积不一致：积是环的直积, 余积是自由积或张量积.

引理 8. 设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴, $X_i(1 \les i \les n)$ 是 $\mathcal{A}$ 中任意有限多个对象. 则
  1. 有$$\sum_{1\les i\les n} e_ip_i'=\mr{Id}_{\oplus 1\les i\les n X_i},$$其中 $e_i$ 是余积 $\bigoplus_{1 \les i \les n} X_i$ 的结构态射, $p_i'$ 是余积 $\bigoplus_{1 \les i \les n} X_i$ 的投影态射.
  2. $\mathcal{A}$ 中存在积 $\prod_{1 \les i \les n} X_i$ 且 $$\sum_{1 \les i \les n} e_i^{\prime} p_i=\operatorname{Id} \prod_{1 \les i \les n} X_i,$$ 其中 $p_i$ 是积 $\prod_{1 \les i \les n} X_i$ 的结构态射, $e_i^{\prime}$ 是积 $\prod_{1 \les i \les n} X_i$ 的嵌入态射.
  3. 典范态射 $\sigma: \bigoplus_{1 \les i \les n} X_i \longrightarrow \prod_{1 \les i \les n} X_i$ 是同构.
证明
证明.
  1. 因为 $\mathcal{A}$ 是加法范畴, 态射的有限和 $\sum_{1 \les i \les n} e_i p_i^{\prime}$ 是有意义的. 对于任意 $j$, 我们有$$ \left(\sum_{1 \les i \les n} e_i p_i^{\prime}\right) e_j=\sum_{1 \les i \les n} e_i \delta_{i j}=e_j=\left(\operatorname{Id} \underset{1 \les i \les n}{\oplus} x_i\right) e_j $$从而由结构态射的整体满射性知 $\sum_{1 \les i \les n} e_i p_i^{\prime}=\operatorname{Id} \underset{1 \les i \les n}{\oplus} X_i$.
  2. 断言 $(\oplus X_i, p_i')$ 是 $\{X_i\}_{i\in I}$ 的积. 设存在 $\vp: Y\to \oplus X_i$ 使 $g_i=p_i'\vp$, 则先两边左乘 $e_i$ 再求和以及利用 (1) 的结论得$$ \vp=\sum_{1\les i\les n} e_ig_i.$$这便说明了 $\vp$ 存在且唯一.

    同理可证$$ \sum_{1 \les i \les n} e_i^{\prime} p_i=\mathrm{Id}_{ \prod_{1 \les i \les n} X_i}.$$

  3. 由 (2) 知 $\{X_i\}_{1\les i\les n}$ 得积 $\prod_{1 \les i \les n} X_i$ 存在. 令 $\sigma'=\sum_i e_ip_i$, 则 \begin{align*} \sigma\sigma'&=\Big(\sum_i e_i'p_i'\Big)\Big(\sum_i e_i p_i \Big)=\mathrm{Id}_{ \prod_{1 \les i \les n} X_i}\\ \sigma'\sigma&=\Big(\sum_i e_i p_i \Big)\Big(\sum_i e_i' p_i' \Big)=\mathrm{Id}_{ \oplus_{1 \les i \les n} X_i} \end{align*}

引理 9. 设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴. 则有 Abel 群的典范同构: \begin{align*} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\Big(M, \bigoplus_{1 \les i \les n} N_i\Big) &\cong \bigoplus_{1 \les i \les n} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, N_i\right), \quad f \longmapsto\left(p_1^{\prime} f, \cdots, p_n^{\prime} f\right) ;\\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\Big(\bigoplus_{1 \les i \les n} M_i, N\Big) &\cong \bigoplus_{1 \les i \les n} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M_i, N\right), \quad f \longmapsto\left(f e_1, \cdots, f e_n\right) ;\\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(\bigoplus_{i \in I} M_i, N\right) &\cong \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M_i, N\right), f \longmapsto\left(f e_i\right)_{i \in I} \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, \prod_{i \in I} N_i\right) &\cong \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, N_i\right), f \longmapsto\left(p_i f\right)_{i \in I} \end{align*}其中 $I$ 是任意集. 可以不必假设 $\mathcal{A}$ 有余积或积, 只要假设相应的余积或积存在即可. 这个说明对于以下引理同样成立.

引理 10. 设 $\mathcal{A}$ 是加法范畴. 则也有如下 Abel 群的典范态射: $$ \begin{aligned} \bigoplus_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, N_i\right) &\hookrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, \bigoplus_{i \in I} N_i\right), \quad\left(f_i\right)_{i \in I} \longmapsto \sum_{i \in I} e_i f_i \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, \bigoplus_{i \in I} N_i\right) &\hookrightarrow \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, N_i\right), \quad f \longmapsto\left(p_i^{\prime} f\right)_{i \in I} \\ \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(\prod_{i \in I} M_i, N\right) &\longrightarrow \prod_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M_i, N\right), \quad f \longmapsto\left(f e_i^{\prime}\right)_{i \in I} \\ \bigoplus_{i \in I} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M_i, N\right) &\longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(\prod_{i \in I} M_i, N\right), \quad\left(f_i\right)_{i \in I} \longmapsto \sum_{i \in I} f_i p_i . \end{aligned} $$但是, 当 $I$ 是无限集时, 这四个典范态射一般来说均非同构.

3. 加法函子 我们使用加法函子研究加法范畴之间的关系.

定义 11 (加法函子). 设 $\ca,\cb$ 是加法范畴. 函子 $F:\ca\to\cb$ 称为加法函子, 如果对任意 $X,Y\in\mr{Ob}(\ca)$ 有$$F:\mr{Hom}_\ca(X,Y)\to \mr{Hom}_\cb(FX,FY), f\mapsto Ff$$是群同态, 即 $$F(f+g)=F(f)+F(g), \ \ \ff f,g\in\mr{Hom}_\ca(X,Y).$$
注记 3.
  1. 因为 $0$ 是加群 $\mr{Hom}_\ca(X,Y)$ 的单位元, 故加法函子 $F$ 保持零态射.
  2. 因为对象 $X$ 是零对象当仅当 $\mr{Id}_X=0$, 故加法函子 $F$ 保持零对象.

定义 12 (保持有限余积). 称加法范畴之间的函子 $F: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 保持有限余积, 如果对于 $\mathcal{A}$ 中任意两个对象 $X$ 与 $Y$ 在 $\mathcal{A}$ 中的余积 $\left(X \oplus Y, e_1, e_2\right),\left(F(X \oplus Y), F e_1, F e_2\right)$ 是 $F X$ 与 $F Y$ 在 $\mathcal{B}$ 中的余积.
引理 13. 设 $F: \mathcal{A} \longrightarrow \mathcal{B}$ 是加法范帱之间的函子.
  1. 若 $F$ 保持有限余积, 则 $F$ 保持零对象, 并且 $F$ 保持零态射.
  2. $F$ 保持有限余积当且仅当对于 $X$ 与 $Y$ 在 $\mathcal{A}$ 中的余积 $\left(X \oplus Y, e_1, e_2\right)$, $\left(F e_1, F e_2\right): F X \oplus F Y \longrightarrow F(X \oplus Y)$ 是同构. 此时, $\left(F e_1, F e_2\right)$ 的逆同构是 $\binom{F p_1^{\prime}}{F p_2^{\prime}}$, 这里 $p_i^{\prime}$ 是余积 $F X \oplus F Y$ 的投影态射.

4. Abel 范畴

定义 14 (核). 设 $\ca$ 是有零对象的范畴.
  1. $f:X\to Y$ 是 $\ca$ 中态射. 态射 $k: K\to X$ 称为 $f$ 的核, 若
    1. $k$ 是单态射;
    2. $fk=0$;
    3. 若 $u:L\to X$ 使 $fu=0$, 则存在 $g:L\to K$ 使得 $u=kg$.
    此时将 $k$ 记为 $\mr{ker}f$, 态射的核再同构意义下唯一.
  2. $\ca$ 称为有核, 如果 $\ca$ 中每个态射均有核.
"$k:K\to X$ 称为 $f$ 的核, 或者说二元组 $(k,K)$ 是 $f$ 的核, 或者说 $k$ 是 $f$ 的核."

定义 15 (余核). 设 $\ca$ 是有零对象的范畴.
  1. $f:X\to Y$ 是 $\ca$ 中态射. 态射 $c:Y\to C$ 称为 $f$ 的余核, 若
    1. $c$ 是满态射;
    2. $cf=0$;
    3. 若 $v:Y\to D$ 使得 $vf=0$, 则存在 $h:C\to D$ 使得 $v=hc$.
    此时将 $c$ 记为 $\mr{Coker}f$, 态射的余核再同构意义下唯一.
  2. $\ca$ 称为有余核, 如果 $\ca$ 中每个态射均有余核.

设范畴 $\ca$ 有零对象, $\ca$ 有核和余核, 考虑下图

  1. 因为 $fk=0$, 由 $e$ 的泛性质得 $m'$;
  2. 因为 $cf=0$, 由 $m$ 得泛性质得 $\tilde{f}$;
  3. 因为 $cm'e=cf=0$, 又因为 $e$ 为满态射, 则 $cm'=0$. 由 $m$ 的泛性质得 $\mr{can}$ 使得 $m'=m\circ \mr{can}$.
  4. 因为 $$m\tilde{f}=f=m'e=m\circ \mr{can}\circ e,$$ 又 $m$ 为单态射, 故 $\tilde{f}=\mr{can}\circ e.$

定义 16 (Abel 范畴). 加法范畴 $\ca$ 称为 Abel 范畴, 若
  1. $\ca$ 有核和余核;
  2. 对 $\ca$ 中每个态射 $f:X\to Y$, 典范态射 $$\mr{can}: \mr{Coim}f\to \mr{Im}f$$ 是同构.
于是 Abel 范畴中任意态射 $f:X\to Y$ 有“满单分解”

其中 $m$ 是 $f$ 的余核 $c$ 的核. 我们有典范同构$$\mr{can}\ :\ X/\mr{ker} f\cong \mr{Im}f.$$

命题 17. 在 Abel 范畴中有以下结论：
  1. 态射 $f:X\to Y$ 是单态射当仅当 $\Ker f\cong 0$, 也当仅当典范满态射 $\tilde{f}$ 是同构.
  2. 态射 $f:X\to Y$ 是满态射当仅当 $\mr{Coker} f\cong 0$, 也当仅当典范单态射 $m$ 是同构.
  3. 若 $g $ 是单态射, 则典范态射 $\Ker f\to \Ker(gf)$ 是同构.
  4. 若 $f$ 是满态射, 则典范态射 $\mr{Coker}g\to \mr{Coker}(gf)$ 是同构.
  5. 对任意态射 $f:X\to Y$, 有典范同构 $Y/\mr{Im}f\cong \mr{Coker}f$, 其中 $Y/\Im f$ 指 $m:\Im f\hookrightarrow Y$ 的余核.
  6. 若 $f$ 是满态射, 则典范态射 $\Im g\to \Im (gf)$ 是同构.
  7. 态射 $f$ 是同构当仅当它既是单态射又是满态射.
  8. 若 $g$ 是单态射, 则典范态射 $\Im f\to \Im (gf)$ 是同构.

5. 态射范畴

6. Abel 范畴中的正合列和蛇引理

7. 正合函子