Abel 范畴上的同调代数

目录
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 1.  笔记
 2.  复形范畴
   2.1.  加法范畴上的复形范畴
   2.2.  Abel 范畴上的复形范畴
   2.3.  上同调函子
   2.4.  上同调函子的性质
   2.5.  拟同构
 3.  同调代数基本定理
 4.  同伦范畴
   4.1.  同伦
   4.2.  同伦范畴
   4.3.  关键公式
 5.  投射分解和内射分解
   5.1.  马蹄引理
 6.  导出函子
   6.1.  Motivations
   6.2.  Construction and first properties
   6.3.  Variations
 7.  $\mr{Ext}^n$ 函子
   7.1.  背景
   7.2.  正文
     7.2.1.  左正合反变函子
     7.2.2.  左正合共变函子
     7.2.3.  足够多的投射、内射对象
 8.  $\mr{Tor}_n$ 函子
 9.  同调维数
 10.  拉回和推出

1. 笔记

加法范畴可以讨论态射的加法、对象的余积; Abel 范畴可以讨论态射的核与余核, 进而可以讨论正合列.

整理：同伦、同构、拟同构、同伦等价

$\mr{Hom}$ 函子是左正合的

1. $\mr{Hom}_\ca(-,N)$ 是反变函子
2. $\mr{Hom}_\ca(M,-)$ 是共变函子

\begin{align*} I\ \text{是内射对象}\ &\Leftrightarrow\ \mr{Hom}_\ca(-,I)\ \text{正合}\ \Leftrightarrow\ \Ext^1_\ca(M,I)=0,\ff M\in\mr{Ob}(\ca)\\ P\ \text{是投射对象}\ &\Leftrightarrow\ \mr{Hom}_\ca(P,-)\ \text{正合}\ \Leftrightarrow\ \Ext^1_\ca(P,N)=0,\ff N\in\mr{Ob}(\ca) \end{align*}

$\ot$ 函子是右正合共变函子

1. $M\ot_R-$ 是共变函子
2. $-\ot_RM$ 是共变函子

有一类特殊的模, 用它作张量积后短正合列仍为短正合列, 正如投射模和内射模在 $\mr{Hom}$ 中所起的作用一样, 这种模就是平坦模.

$$M\ \text{是平坦模}\ \Leftrightarrow\ M\ot_R-\ \text{正合}\ \Leftrightarrow\ \mr{Tor}_1^R (M,N)=0,\ff N\in R-\mr{mod}$$

2. 复形范畴 2.1. 加法范畴上的复形范畴

类似地, $\ca$ 上的链复形是指 $\ca$ 上的一个态射链 $$ \cdots \longrightarrow X_{n+1} \xrightarrow{d_n} X_n \xrightarrow{d_{n-1}} X_{n-1} \longrightarrow \cdots $$ 满足 $d_{n-1} d_n=0, \ \forall n \in \mathbb{Z}$. 将此上链复形记为 $X^{\bullet}=\left(X_n, d_n\right)_{n \in \mathbb{Z}}$, 或简记为 $X$. 上链复形和链复形, 目前来看, 仅仅记号不同. 以后统称为复形. 今后若无特殊说明, 只讨论上链复形, 其实 $\ca$ 上的链复形恰是反范畴 $\ca^{\mr{OP}}$ 上的上链复形.

2.2. Abel 范畴上的复形范畴 设 $\ca$ 是 Abel 范畴, $f:X\to Y$ 是 $\ca$ 上复形的链映射. 对每个 $n$,

• 用 $\sigma^n: \operatorname{Ker} f^n \hookrightarrow X^n$ 表示 $f^n: X^n \rightarrow Y^n$ 在 $\mathcal{A}$ 中的核.
• 用 $\pi^{n+1}: Y^{n+1} \twoheadrightarrow \operatorname{Coker} f^{n+1}$ 表示 $f^{n+1}: X^{n+1} \rightarrow Y^{n+1}$ 在 $\mathcal{A}$ 中的余核.

因为 $f^{n+1} d_X^n \sigma^n=d_Y^n f^n \sigma^n=0$, 由核 $\left(\operatorname{Ker} f^{n+1}, \sigma^{n+1}\right)$ 的泛性质, 存在唯一的态射 $\widetilde{d_X^n}: \operatorname{Ker} f^n \rightarrow \operatorname{Ker} f^{n+1}$ 使得 $d_X^n \sigma^n=\sigma^{n+1} \widetilde{d_X^n}$. 同理, 因为 $\pi^{n+1} d_Y^n f^n=0$, 由余核 $\left(\operatorname{Coker} f^n, \pi^n\right)$ 的泛性质, 存在唯一的态射 $\overline{d_Y^n}: \operatorname{Coker} f^n \rightarrow \operatorname{Coker} f^{n+1}$ 使得 $\overline{d_Y^n} \pi^n=\pi^{n+1} d_Y^n$. 所以我们得到如下交换图

2.3. 上同调函子 设 $\mathcal{A}$ 为 Abel 范畴. 对于 $\mathcal{A}$ 上的上链复形 $X=$ $\left(X^n, d^n\right)_{n \in \mathbb{Z}}$ 和任一 $n \in \mathbb{Z}$, 因为 $d^n d^{n-1}=0, \forall n \in \mathbb{Z}$, 故有典范单态射 $\operatorname{Im} d^{n-1} \hookrightarrow \operatorname{Ker} d^n$ ，按照我们的记号，其余核记为 $\operatorname{Ker} d^n / \operatorname{Im} d^{n-1}$ . . 定义复形 $X$ 的 $n$ 次上同调对象为 $$ \mathrm{H}^n(X):=\operatorname{Ker} d^n / \operatorname{Im} d^{n-1} $$ 类似地, 对于 $\mathcal{A}$ 上的链复形 $X=\left(X_n, d_n\right)_{n \in \mathbb{Z}}$ 和任一 $n \in \mathbb{Z}$, 定义其 $n$ 次同调对象为 $$ \mathrm{H}_n(X):=\operatorname{Ker} d_{n-1} / \operatorname{Im} d_n \text {. } $$ 同理, $\mathrm{H}^n$ 和 $\mathrm{H}_n$ 仅仅是记号上的不同. 以后只对 $\mathrm{H}^n$ 叙述.

2.4. 上同调函子的性质

2.5. 拟同构

如果 $f: X \longrightarrow Y$ 是 $C(\mathcal{A})$ 中的同构, 即有链映射 $g: Y \longrightarrow X$ 使 $g f=\operatorname{Id}_X, f g=\operatorname{Id}_Y$, 则 $$ \mathrm{H}^n(g) \mathrm{H}^n(f)=\mathrm{H}^n(g f)=\mathrm{H}^n\left(\operatorname{Id}_X\right)=\operatorname{Id}_{\mathrm{H}^n(X)}, $$ 同理 $\mathrm{H}^n(f) \mathrm{H}^n(g)=\operatorname{Id}_{\mathrm{H}^n(Y)}$. 故有 例如, 取模范畴 $R-\operatorname{Mod}$ 中的正合列 $0 \longrightarrow X^0 \xrightarrow{f} X^1 \xrightarrow{g} Y \longrightarrow 0$ 使得 $X^0 \neq 0$. 则有 $C(R-\operatorname{Mod})$ 中的链映射 $g^{\bullet}:X^{\bullet}\to Y^{\bullet}$ :

且 $g^{\bullet}$ 是拟同构, 但 $g^{\bullet}$ 不是 $C(R-\mathrm{Mod})$ 中的同构.

3. 同调代数基本定理

上述同调代数基本定理是用上链复形的语言表述的. 类似地, 如果 $0 \longrightarrow X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \longrightarrow 0$ 是链复形的短正合列, 则有 $\mathcal{A}$ 中长正合列 $$ \cdots \longrightarrow \mathrm{H}_{n+1}(Y) \xrightarrow{\mathrm{H}_{n+1}(v)} \mathrm{H}_{n+1}(Z) \xrightarrow{c_n} \mathrm{H}_n(X) \xrightarrow{\mathrm{H}_n(u)} \mathrm{H}_n(Y) \xrightarrow{\mathrm{H}_n(v)} \mathrm{H}_n(Z) \longrightarrow \cdots $$ 其中连接态射 $c$ 是自然的.

4. 同伦范畴 4.1. 同伦 首先我们介绍链映射之间的同伦关系.

同伦关系的意义在于如下命题.

证明

证明. 对每个 $n$, 用 $\sigma_X^n: \operatorname{Ker} d_X^n \hookrightarrow X^n$ 表示 $d_X^n: X^n \longrightarrow X^{n+1}$ 的核. 因为 $d_Y^n f^n \sigma_X^n=f^{n+1} d_X^n \sigma_X^n=0$, 故存在唯一的态射 $c^n(f): \operatorname{Ker} d_X^n \longrightarrow \operatorname{Ker} d_Y^n$ 使得有正合列的交换图

由如下交换图

及单-满-分解 $d_Y^{n-1}=\sigma_Y^n a_Y^n \widetilde{d_Y^{n-1}}: Y^{n-1} \longrightarrow Y^n$ 得到
\begin{align*}
\sigma_Y^n c^n(f-g) & =\left(f^n-g^n\right) \sigma_X^n=\left(d_Y^{n-1} s^n+s^{n+1} d_X^n\right) \sigma_X^n \\
& =d_Y^{n-1} s^n \sigma_X^n=\sigma_Y^n a_Y^n \widetilde{d_Y^{n-1}} s^n \sigma_X^n .
\end{align*}故 $c^n(f-g)=a_Y^n \widetilde{d_Y^{n-1}} s^n \sigma_X^n$. 于是$$\left(\mathrm{H}^n(f)-\mathrm{H}^n(g)\right) e_X^n=\mathrm{H}^n(f-g) e_X^n=e_Y^n c^n(f-g)=e_Y^n a_Y^n \widetilde{d_Y^{n-1}} s^n \sigma_X^n=0$$从而 $\mathrm{H}^n(f)-\mathrm{H}^n(g)=0$.

4.2. 同伦范畴 设 $\ca$ 为加法范畴, $X$ 和 $Y$ 是 $C(\ca)$ 中的复形. 令 $$ \operatorname{Htp}(X, Y):=\{f \mid f: X \longrightarrow Y \text { 为链映射, 且 } f \sim 0\} . $$ 则 $\operatorname{Htp}(X, Y)$ 是 $\operatorname{Hom}_{C(\mathcal{A})}(X, Y)$ 的子群.

在同伦范畴 $K(\ca)$ 中

1. 两个链映射在 $K(\ca)$ 中相等当仅当这两个链映射是同伦的.
2. 零态射为零伦的链映射.
3. 零对象为满足 $\mr{Id}_X\sim0$ 的复形 $X$.

证明

证明. 因为 $f$ 与 $g$ 同伦等价, 所以 $$ \mathrm{H}^n(g f)=\mathrm{Id}_{\mathrm{H}^n(X)} ,\ \ \mathrm{H}^n(f g)=\mathrm{Id}_{\mathrm{H}^n(Y)},$$ 进而 $$ \mathrm{H}^n(g) \mathrm{H}^n(f)=\operatorname{Id}_{\mathrm{H}^n(X)},\ \ \mathrm{H}^n(f) \mathrm{H}^n(g)=\operatorname{Id}_{\mathrm{H}^n(Y)} . $$ 所以每个 $\mr{H}^n(f)$ 均是同构. 例如, 取 $R$-Mod 中的非可裂短正合列 $0 \longrightarrow X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \longrightarrow 0$, 则如下

就给出同伦范畴 $K(R-\mathrm{Mod})$ 中的拟同构, 但它不是同伦等价.

4.3. 关键公式

5. 投射分解和内射分解

投射分解总是存在的, 但不唯一. 借助同伦关系, 在同伦等价的意义下唯一. 设 $\ca$ 是有足够多投射对象的 Abel 范畴.

5.1. 马蹄引理

6. 导出函子 6.1. Motivations

设 $F:\ca\to\cb$ 是 Abel 范畴之间的左正合加法函子, $0\to A\to B\to C\to0$ 是 $\ca$ 中的短正合列. 作用 $F$ 得到正合列 $$0\rightarrow F(A)\rightarrow F(B)\rightarrow F(C) .$$ 我们会问能否向右延长这个正合列得到长正合列. 严格来说这个问题不是良定的, 因为有很多种不同的延长方法. 但是当 $A$ 的性质足够好时, 存在一种由右导出函子给出的典范方法. 对任意 $i\ges1$, 存在函子 $\mr{R}^iF:\ca\to\cb$ 使得一下为正合列 \begin{array} 00\!\!\!\! &\to F(A)\!\!\!\! &\to F(B)\!\!\!\! &\to F(C)\\ &\to \mr{R}^1F(A)\!\!\!\! &\to \mr{R}^1F(B)\!\!\!\! &\to \mr{R}^1F(C)\\ &\to \mr{R}^2F(A)\!\!\!\! &\to \mr{R}^2F(B)\!\!\!\! &\to \mr{R}^2F(C)\!\!\!\!\!\!\!\! &\to\cdots \end{array} 由此可得 $F$ 为正合函子当仅当 $\mr{R}^1F=0$. 在这个角度下, $F$ 的右导出函子衡量了 $F$ 成为正合函子的障碍. 如果 $0\to A\to B\to C\to0$ 中的 $A$ 是内射对象, 则为可列短正合列, 加法函子保持可列短正合列. 特别地, $\mr{R}^1F(A)=0$. 内射对象上的右导出函子为 $0$, 这是如下构造的动机.

6.2. Construction and first properties

需要对 Abel 范畴 $\ca$ 作的关键假设为 $\ca$ 有足够多的内射对象. 即, 对任意 $\ca$ 中对象 $A$ 存在单态射 $A\to I$, 其中 $I$ 为 $A$ 中的内射对象. 下面我们来定义共变左正合函子 $F:\ca\to\cb$ 的右导出函子. 任取 $X\in\ca$, 考虑其内射分解 $$0\to X\to I^0\to I^1\to I^2\to\cdots,$$ 将 $F$ 作用到 $X$ 的删项内射分解上得到链复形 $$0\to F(I^0)\to F(I^1)\to F(I^2)\to\cdots.$$ 注意：此链复形一般不再是正合列. 但我们可以计算第 $i$ 处的上同调(从 $F(I^i)$ 出发的核模掉到 $F(I^i)$ 的像), 记为 $\mr{R}^iF(X)$. 现在还有很多事情需要核对：

1. $\mr{R}^iF(X)$ 不依赖于 $X$ 的内射分解.
2. 任何态射 $X\to Y$ 可以自然地产生态射 $\mr{R}^iF(X)\to \mr{R}^iF(Y)$.

因此我们得到一个函子. 左正合性意味着 $0\to F(X)\to F(I^0)\to F(I^1)$ 是正合的, 因此 $\mr{R}^0F(X)=F(X)$, 所以只有在 $i>0$ 时才能得到一些有趣的结果. 如果 $X$ 是内射对象, 则我们可以选取内射分解 $$0\to X\to X\to 0.$$ 因此 $\mr{R}^iF(X)\equiv0,\,i\ges1$. 在实际计算时, 连同长正合列的性质, 它经常被用来计算右导出函子.

6.3. Variations 如果我们从共变右正合函子 $G$ 出发, 并且假设范畴 $\ca$ 有足够多的投射对象, 那么可以类似地定义左导出函子. 任取 $X\in \ca$, 取其投射分解 $$\cdots\to P_2\to P_1\to P_0\to X\to0$$ 将 $G$ 作用于删项投射分解得 $$\cdots\to G(P_2)\to G(P_1)\to G(P_0)\to0.$$ 计算上同调(homology)得到 $\mr{L}_iG(X)$. 和之前类似, $\mr{L}_0G(X)=G(X)$. \begin{array}{rcccccc} \cdots & \to & \mr{L}_2 G(A) & \to & \mr{L}_2 G(B) & \to & \mr{L}_2 G(C)& \\ & \to & \mr{L}_1 G(A) & \to & \mr{L}_1 G(B) & \to & \mr{L}_1 G(C)& \\ & \to & G(A) & \to & G(B) & \to & G(C) & \to0 \end{array} 左导出函子在投射对象上为零. 从反变左正合函子 $F$ 出发, 相应得右导出函子也是反变的. 短正合列 $0\to A\to B\to C\to0$ 随之变成长正合列 \begin{array} 00\!\!\!\! &\to F(C)\!\!\!\! &\to F(B)\!\!\!\! &\to F(A)& \\ &\to \mr{R}^1F(C)\!\!\!\! &\to \mr{R}^1F(B)\!\!\!\! &\to \mr{R}^1F(A)& \\ &\to \mr{R}^2F(C)\!\!\!\! &\to \mr{R}^2F(B)\!\!\!\! &\to \mr{R}^2F(A)\!\!\!\!\!\!\!\! &\to\cdots \end{array} 这些左导出函子在投射对象上都为零, 因此可以通过投射分解计算.

7. $\mr{Ext}^n$ 函子 7.1. 背景 为了帮助理解 $\Ext$ 的含义, 我们现在研究模的扩张问题.

两个扩张 $E_1$ 与 $E_2$ 同构是指相应的短正合列同构, 即有如下交换图

由于短正合列的同构是一个等价关系, 我们把 $M$ 通过 $N$ 扩张的同构类记为 $E(M,N)$. 我们将建立集合 $E(M,N)$ 与 $\Ext^1_R(M,N)$ 之间的对应关系, 然后证明这个映射是集合的等价, 从而提示了 $\Ext$ 来源于 Extension.

设有 $M$ 通过 $N$ 的扩张 $E$: $$0\to N\xrightarrow[]{\alpha} E\xrightarrow[]{\beta} M\to 0,$$ 用函子 $\mr{Hom}(-,N)$ 作用后得长正合列 $$ \begin{aligned} 0 & \rightarrow \operatorname{Hom}(M, N) \xrightarrow{\bar{\beta}} \operatorname{Hom}(E, N) \xrightarrow{\bar{\alpha}} \operatorname{Hom}(N, N) \\ & \xrightarrow{\Delta^0} \operatorname{Ext}^1(M, N) \rightarrow \operatorname{Ext}^1(E, N) \rightarrow \operatorname{Ext}^1(N, N)\cdots \end{aligned} $$ 根据 $\Ext$ 函子得性质(4), 两个同构的扩张诱导了相同的连接态射 $\delta_E:=\Delta^0$. 因此对于扩张的同构类 $[E]\in E(M,N)$, 可以定义 $$\mr{ch}(E)=\delta_E(1_N)\in\Ext^1_R(M,N),$$ 称为 $[E]$ 的示性类 (characteristic class).

7.2. 正文 本节我们将左正合(反变)函子的右导出函子理论应用到 $\mr{Hom}$ 函子. 7.2.1. 左正合反变函子设 $\ca$ 是有足够多投射对象的 Abel 范畴, $N$ 是 $\ca$ 中的对象, 则 $\Hom{\ca}{-,N}:\ca\to\mr{Ab}$ 是左正合反变函子. 因此我们有 $\Hom{\ca}{-,N}$ 的第 $n$ 次右导出函子 $\mr{R}^n\Hom{\ca}{-,N}$, 记为 $\Ext_\ca^n(-,N)$. 即我们有反变加法函子 $$\Ext_\ca^n(-,N)=\mr{R}^n\Hom{\ca}{-,N}:\ca\to\mr{Ab}, \ff n\ges0.$$ 对于 $\ca$ 中对象 $M$, 记 $\Ext_\ca^n(M,N):=\Ext_\ca^n(-,N)(M)$. 取 $M$ 的一个投射分解 $$ \cdots \longrightarrow P_2 \xrightarrow{d_1} P_1 \xrightarrow{d_0} P_0 \xrightarrow{\pi} M \longrightarrow 0 $$ 得到复形 $\Hom{\ca}{P,N}:=\Hom{\ca}{-,N}(P)$ $$ 0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(P_0, N\right) \xrightarrow{\left(d_0, N\right)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(P_1, N\right) \xrightarrow{\left(d_1, N\right)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(P_2, N\right) \longrightarrow \cdots $$ 由定义得 $$ \begin{aligned} & \operatorname{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M, N)=\mathrm{H}^n \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(P, N) \\ =&\operatorname{Ker}{\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}}\left(d_n, N\right) / \operatorname{Im}{\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}}\left(d_{n-1}, N\right), \quad \forall n \ges 0 . \end{aligned} $$

7.2.2. 左正合共变函子设 $\ca$ 是有足够多内射对象的 Abel 范畴. 考虑左正合函子 $\Hom{\ca}{M,-}:\ca\to\mr{Ab}$ 的第 $n$ 次右导出函子 $\mr{ext}^n_\ca(M,-):\ca\to\mr{Ab}$. 对于 $\ca$ 中对象 $N$, 记 $$\mr{ext}^n_\ca(M,-)(N)=:\mr{ext}^n_\ca(M,N).$$ 取 $N$ 的一个内射分解 $$ 0 \longrightarrow N \xrightarrow{\varepsilon} I^0 \xrightarrow{d^0} I^1 \xrightarrow{d^1} I^2 \longrightarrow \cdots. $$ 得到复形 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I):=\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(M,-)(I)$ : $$ 0 \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, I^0\right) \xrightarrow{\left(M, d^0\right)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, I^1\right) \xrightarrow{\left(M, d^1\right)} \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}\left(M, I^2\right) \longrightarrow \cdots $$ 由定义即知 $$ \begin{aligned} &\operatorname{ext}_{\mathcal{A}}^n(M, N) =\mathrm{H}^n \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(M, I) \\ =&\operatorname{Ker} {\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}}\left(M, d^n\right) / \operatorname{Im} {\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}}\left(M, d^{n-1}\right), \quad \forall n \ges 0 \end{aligned} $$

7.2.3. 足够多的投射、内射对象

设 $\ca$ 是 Abel 范畴, 并且 $\ca$ 既有足够多的投射对象, 又有足够多的内射对象. 例如, 环 $R$ 的左模范畴 $\mr{R-mod}$ 和右模范畴 $\mr{mod\,R}$, Artin 代数 $A$ 的有限生成左模范畴 $A-\mr{mod}$ 和有限生成右模范畴 $\mr{mod}\,A$. 自然的问题是, 对于 $\ca$ 中任意对象 $M$ 和 $N$, 以及任意 $n\ges0$, 是否有 Abel 群的同构 $$\Ext_\ca^n(M,N)\cong \mr{ext}_\ca^n(M,N).$$

其中 \begin{align*} \Ext_\ca^n(M,N)&:=\Ext_\ca^n(-,N)(M)\\ \mr{ext}_\ca^n(M,N)&:=\mr{ext}_\ca^n(M,-)(N)\\ \mathcal{E}\mr{xt}_\ca^n(M,-)(N)&:=\Ext_\ca^n(M,N). \end{align*} 于是, 若 $\ca$ 既有足够多投射对象, 也有足够多内射对象, 则无需区分 $\Ext_\ca^n(M,N)$ 和 $\mr{ext}_\ca^n(M,N)$, 并通常仅用记号 $\Ext_\ca^n(M,N)$. 这样, 从理论上讲, 即可以通过 $M$ 的投射分解, 也可以通过 $N$ 的内射分解来计算 $\mr{Ext}_{\mathcal{A}}^n(M,N)$ . 当然, 实际上投射分解比较容易构造.

证明

取 $M$ 的一个投射分解: $$\cdots \longrightarrow{ }_A A \xrightarrow{d_1}{ }_A A \xrightarrow{d_0}{ }_A A \xrightarrow{\pi} M \longrightarrow 0,$$ 其中 $$ \begin{aligned} \pi:& A \longrightarrow M, \quad f(x)+\left\langle x^s\right\rangle \longmapsto f(x)+\left\langle x^r\right\rangle, \\ d_{2 t}=x^r:& A \longrightarrow A, \quad f(x)+\left\langle x^s\right\rangle \longmapsto x^r f(x)+\left\langle x^s\right\rangle, \quad \forall t \ges 0 \\ d_{2 t-1}=x^{s-r}:& A \longrightarrow A, \quad f(x)+\left\langle x^s\right\rangle \longmapsto x^{s-r} f(x)+\left\langle x^s\right\rangle, \quad \forall t \ges 1 . \end{aligned} $$ 将函子 $\operatorname{Hom}_A(-, M)$ 作用在 $M$ 的删项投射分解上, 得到复形的交换图, 其中坚直的同态均为同构

因此 $$ \begin{align*} \operatorname{Ext}_A^0(M, M) &\cong \operatorname{Hom}_A(M, M) \cong \operatorname{Ker} \operatorname{Hom}_A\left(x^r, M\right)=\operatorname{Ker} 0 \cong M \\ \operatorname{Ext}_A^{2 n-1}(M, M) &\cong \operatorname{Ker}\Big(M \xrightarrow{x^{s-r}} M\Big) \cong \begin{cases}M, & s \ges 2 r \\ \frac{\left\langle x^{2 r-s}\right\rangle}{\left\langle x^r\right\rangle}, & s<2 r\end{cases} \\ \operatorname{Ext}_A^{2 n}(M, M)&=\frac{M}{\operatorname{Im}\Big(M \xrightarrow{x^{s-r}} M\Big)} \cong \begin{cases}M \\ \frac{k[x]}{\left\langle x^{s-r}\right\rangle} \cong \frac{\left\langle x^{2 r-s}\right\rangle}{\left\langle x^r\right\rangle}, & s<2 r\end{cases} \end{align*} $$ 综上所述我们有 $$ \operatorname{Hom}_A(M, M) \cong M, \quad \operatorname{Ext}_A^n(M, M) \cong\left\{\begin{array}{ll} M, & s \ges 2 r \\ \frac{\left\langle x^{2 r-s}\right\rangle}{\left\langle x^r\right\rangle}, & s<2 r \end{array} \quad \forall n \ges 1\right. $$

证明

取 $\mathbb{Z}_m$ 的一个投射分解: $0 \longrightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z} \longrightarrow$ $\mathbb{Z}_m \longrightarrow 0$, 得到复形的交换图, 其中坚直的同态均为同构

因此 $$ \begin{aligned} & \operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^i\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right)=0, \quad i \ges 2 \\ & \operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^0\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right) \cong \operatorname{Ker}\Big(\mathbb{Z}_n \xrightarrow{m} \mathbb{Z}_n\Big)=\frac{n}{(m, n)} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}_{(m, n)} \\ & \operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1\left(\mathbb{Z}_m, \mathbb{Z}_n\right) \cong \frac{\mathbb{Z}_n}{m \mathbb{Z}_n}=\frac{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}{(n \mathbb{Z}+m \mathbb{Z}) / n \mathbb{Z}}=\frac{\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}{(n, m) \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}}=\mathbb{Z}_{(m, n)} \end{aligned} $$ 其中 $(n, m)$ 表示正整数 $n$ 和 $m$ 的最大公约数.

8. $\mr{Tor}_n$ 函子 9. 同调维数 同调维数是一个对象投射分解的最短长度. 据此定义, $\mathcal{A}$ 中对象 $P$ 是投射对象当且仅当 $\operatorname{proj} \cdot \operatorname{dim}(P)=0$.

证明

证明. $(1)\Rightarrow (2)$ 和 $(2)\Rightarrow (3)$ 是显然的. $(3)\Rightarrow (4)$. 令 $K_i=\operatorname{Ker} t_i, 0 \les i \les d-1$ (不妨记 $ K_{-1}:=M, K_{d-1}:=P_d$).对每个正合列 $$ 0 \longrightarrow K_i \longrightarrow P_i \longrightarrow K_{i-1} \longrightarrow 0, \quad 0 \les i \les d-1 $$ 由导出函子的性质得长正合列 \begin{align*} 0&\to\mr{Hom}(K_{i-1},N)\to \mr{Hom}(P_i,N)\to \mr{Hom}(K_{i },N)\\ &\to\Ext^1(K_{i-1},N)\to \Ext^1(P_i,N)\to \Ext^1(K_{i },N)\\ &\to\Ext^2(K_{i-1},N)\to \Ext^2(P_i,N)\to \Ext^2(K_{i },N)\\ &\to\Ext^3(K_{i-1},N)\to \Ext^3(P_i,N)\to \Ext^3(K_{i },N)\to\cdots \end{align*} 因 $P_i(0\les i\les d-1)$ 为投射对象, 故 $\Ext^n(P_i,N)=0, \ff N\in\mr{Ob}(\ca),\ff n\ges1$. 故 $$\Ext^n(K_i,N)\cong \Ext^{n-1}(K_i,N),\ \ff n\ges1.$$ 那么 $$\Ext^1_\ca(P_d,N)=\Ext^2_\ca(K_{d-2},N)=\cdots=\Ext^d_\ca(K_0,N)=\Ext^{d+1}_\ca(M,N)=0.$$ 因此 $P_d$ 为投射对象. $(4)\Rightarrow (1)$. 取正合列 $$ P_{d-1} \longrightarrow P_{d-2} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0 $$ 其中每个 $P_i$ 均是投射对象. 令 $P_d:=\operatorname{Ker}\left(P_{d-1} \rightarrow P_{d-2}\right)$. 则有正合列 $$0 \longrightarrow P_d \longrightarrow P_{d-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0.$$ 由题设知 $P_d$ 也是投射对象，故 $\operatorname{proj.dim}(M) \les d$.

证明

证明. $(1)\Rightarrow(2)$. 只证明后一结论. 取 $M$ 的投射分解 $$0 \longrightarrow P_d \xrightarrow{t_d} P_{d-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_1 \xrightarrow{t_1} P_0 \xrightarrow{t_0} M \longrightarrow 0$$ 得到复形 $$0\to\mr{Hom}_\ca(P_0,P_d)\to\cdots\to\mr{Hom}_\ca(P_{d-1},P_d)\xrightarrow[]{\ \mr{Hom}(t_d,P_d) \ } \mr{Hom}_\ca(P_d,P_d)\to0.$$ 断言 $$\Ext^d_\ca(M,P_d)=\mr{Hom}_\ca(P_d,P_d)/\mr{Im}\mr{Hom}_\ca(t_d,P_d)\ne0.$$ 否则 $\mr{Hom}_\ca(P_d,P_d)=\mr{Im}\mr{Hom}_\ca(t_d,P_d)$. 对于 $\mr{Id}_{P_d}$, 存在 $\delta:P_{d-1}\to P_d$ 使得 $\delta t_d=\mr{Id}_{P_d}$, 即 $t_d$ 可裂单. 因而存在 $P'_{d-1}$ 使得 $P_{d-1}\cong \mr{Im}t_d\oplus P'_{d-1}$, 于是得到 $M$ 的投射分解 $$0\to P'_{d-1}\to P_{d-2}\to\cdots\to P_0\to M\to0.$$ 即 $\mr{proj.dim}M\les d-1$, 矛盾. $(2)\Rightarrow (3)$ 显然. $(3)\Rightarrow (4)$ 只需证明 $t_d$ 非可裂单. 否则, $M$ 有投射分解 $$0\to P'_{d-1}\to \cdots\to P_0\to0.$$ 从而 $\Ext_\ca^d(M,N)=0,\ \ff N\in\mr{Ob}(\ca)$, 矛盾. $(4)\Rightarrow(1)$. 已知 $\mr{proj.dim}(M)\les d$. 假设 $\mr{proj.dim}(M)\les d-1$. 则得到 $M$ 的投射分解 $$0 \longrightarrow Q_{d-1} \longrightarrow \cdots \longrightarrow Q_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0.$$ 另一方面, 取正合列 $$P_{d-1} \longrightarrow P_{d-2} \longrightarrow \cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0,$$ 其中每个 $P_i$ 均是投射对象. 令 $P_d:=\operatorname{Ker}\left(P_{d-1} \longrightarrow P_{d-2}\right)$. 则有正合列 $0 \longrightarrow P_d \xrightarrow{t_d} P_{d-1} \longrightarrow$ $\cdots \longrightarrow P_0 \longrightarrow M \longrightarrow 0$. 由题设知 $P_d$ 也是投射对象且 $t_d$ 非可裂单. 这样得到 $M$ 的两个投射分解, 由比较定理的推论知存在链映射 $\alpha: P \longrightarrow Q$ 和 $\beta: Q \longrightarrow P$ 使得 $\beta \alpha \sim \operatorname{Id}_P$. 如图所示:

10. 拉回和推出