考核方式：平时作业30分, 期末考试70分.
教材：测度论讲义, 严加安, 科学出版社.
任课老师：陈昕, chenxin217@sjtu.edu.cn
参考教材：
- 测度与概率, 严士健, 刘秀芳, 北师大出版社
- Measure Theory, Paul. Halmos, Springer
- An Introduction to Measure Theory, Terence Tao, American Math Society
- Probability Theory and Examples, Rick Durrett
课程思路：从“如何定义测度”和“可测函数的性质”出发, 定义“关于测度的积分”, 从而得到“积分”的性质.
如何对一般的随机变量 $X$ 定义期望 $\mathbb{E}(X)$? 这个随机变量可能既不离散, 也不连续.
线性性：$a\mathbb{E}(X)+b\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(aX+bY).$
对于非负随机变量 $X,Y$ 我们可以定义非线性期望( $g$ 期望, $G$ 期望, 彭实戈), 它满足次可加性
$$\hat{\mathbb{E}}(X+Y)\les \hat{\mathbb{E}}(X)+\hat{\mathbb{E}}(Y).$$
非线性期望在数理金融上有重要作用.
奇异随机偏微分方程, 如 KPZ 方程
$$\pp_tu(x,t)=\pp^2_{xx}u(x,t)+(\pp_xu(x,t))^2+\xi(x,t),$$
其中 $\xi(x,t)$ 为白噪声项, 是一个测度函数. Martin Hairer (2014 Fields) 提出了 regularity structure. 对于线性方程我们可以用测试函数 $\phi$ 将 $u$ 的导数转移到 $\phi$ 上:
$$\int \pp^2_{xx} u(x,t)f(x,t)\md x=\int u(x,t)\pp^2_{xx} f(x,t)\md x.$$
但对非线性项难以完全转移.